别再说你懂快速幂算法了，看完这篇文章你才会懂

本文主要是介绍别再说你懂快速幂算法了，看完这篇文章你才会懂，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

快速幂算法：你以为很简单，但其实暗藏玄机！

你以为快速幂算法只是一个普通的数学公式？天真！你以为这个算法只能用在简单的幂运算上？大错特错！很多人都觉得快速幂算法只是计算大整数幂的一个小工具而已，但真的是这样吗？今天，我——干货哥，就要用一篇爆款博文来颠覆你对快速幂算法的认知。准备好了吗？接下来我将揭开快速幂的神秘面纱，让你看到它背后的深层奥义！

快速幂算法到底是什么？

先来看看这段话，你以为在计算 (x^n) 的时候，笨办法就是把 (x) 乘以自己 (n) 次？那么时间复杂度就是 (O(n))，这效率得多低啊！但是，聪明的程序员早就不这样干了。快速幂的出现，把这个复杂度直接干到 (O(\log n))，就是这么猛！怎么做到的呢？通过一个小小的数学变换：把幂次的计算拆分成二分法的思路。

核心奥义

快速幂的精髓就在于指数拆半！举个例子，计算 (x^{13})，聪明人不会老老实实地算 (x \times x \times \ldots ) ，而是会想到：
[
x^{13} = x \times (x²⁾6
]
看出来了吗？指数直接被减半！再来一个，(x^{10} = (x⁵⁾2)，一步到位，轻松搞定。是不是感觉打开了新世界的大门？

快速幂的两种终极实现方式

很多人觉得：“唉呀，这个快速幂是不是实现起来特别复杂？” 不！事实完全相反！干货哥今天就教你两种写法，简简单单几行代码，直接搞定！

1. 递归实现：看似简单，实则霸气！

递归实现快速幂，那真是优雅得一塌糊涂。每一次递归调用都在减半指数，代码简洁到让你一秒就能看懂，但又内含无穷玄妙。

#include <stdio.h>// 递归实现快速幂
long long power(long long x, unsigned int n) {if (n == 0) return 1; // 任何数的 0 次幂为 1long long half = power(x, n / 2); // 计算 x^(n/2)if (n % 2 == 0)return half * half; // 如果 n 为偶数elsereturn x * half * half; // 如果 n 为奇数
}int main() {long long x = 2;unsigned int n = 10;printf("%lld^%u = %lld\n", x, n, power(x, n));return 0;
}

是不是超级简洁？但你可别小看它！这就是算法的美感所在，一行代码，就是一层哲学！

2. 迭代实现：更高效的选择！直接拿捏CPU！

但是！你以为递归就完美无缺了吗？当然不是！有时候递归会带来函数调用的开销，怎么办？用迭代！它避免了递归的栈开销，性能上压递归一头，绝对是不二选择！

#include <stdio.h>// 迭代实现快速幂
long long power(long long x, unsigned int n) {long long result = 1;while (n > 0) {if (n % 2 == 1) { // 如果 n 是奇数result *= x;}x *= x; // 平方底数n /= 2; // 指数减半}return result;
}int main() {long long x = 2;unsigned int n = 10;printf("%lld^%u = %lld\n", x, n, power(x, n));return 0;
}

你以为快速幂就是这样了？别急！还有大招！

3. 快速幂的模运算：大数计算的杀手锏！

很多人都遇到过这样的问题：幂的计算结果太大，分分钟爆掉变量！怎么办？直接对结果取模！快速幂的模运算实现，才是干掉大数溢出的最佳方式！不要怀疑，这个方法简直就是程序员的福音。

#include <stdio.h>// 快速幂的模运算实现
long long modPower(long long x, unsigned int n, int mod) {long long result = 1;x = x % mod; // 先对 x 取模，避免后续溢出while (n > 0) {if (n % 2 == 1) { // 如果 n 是奇数result = (result * x) % mod;}x = (x * x) % mod; // 平方底数并取模n /= 2; // 指数减半}return result;
}int main() {long long x = 2;unsigned int n = 10;int mod = 1000000007;printf("%lld^%u mod %d = %lld\n", x, n, mod, modPower(x, n, mod));return 0;
}

每一步都稳如泰山，计算结果再大也不会翻车。这样的算法，还不赶紧学会？

干货哥总结：快速幂并非你想象的那么简单！

好了，现在你已经知道快速幂算法的多种实现方式，递归、迭代、模运算，一个都不能少！你以为算法就是简单的实现？错！真正的算法是如何在实际场景中做到最优。快速幂看似基础，实则可以优化的地方多如牛毛。比如：

位运算优化：谁说只有加法和乘法能加速？位运算轻松搞定！
分支预测优化：减少CPU的分支错猜，简直快到起飞！
汇编级优化：在极致性能的场景下，直接上内联汇编，飙到天上去！

汇编级优化通常是针对特定的硬件平台和编译器来进行的。它能够最大化地利用底层指令集的特点，挖掘程序性能的极限。对于快速幂算法，利用汇编优化可以让计算效率再上一层楼。

以下是一个针对x86架构的示例，使用GNU汇编（AT&T语法）来实现快速幂的代码。此代码在Linux平台上使用GCC编译器。

汇编级优化：快速幂实现

#include <stdio.h>// 汇编实现快速幂
long long power_asm(long long x, unsigned int n) {long long result = 1;__asm__ ("1: \n"                   // 标签1，循环开始"testl  %1, %1\n"         // 测试n的最低位是否为0"jz     2f\n"             // 如果n为0，跳到标签2"imull  %2, %0\n"         // result *= x"2: \n"                   // 标签2，处理平方底数"mull   %2\n"             // x *= x"shrl   $1, %1\n"         // n >>= 1 (右移一位，相当于n除以2)"jnz    1b\n"             // 如果n不为0，跳回标签1继续循环: "+r" (result), "+r" (n) // 输出部分：result和n，+表示读写: "r" (x)                 // 输入部分：x: "cc"                    // 告诉编译器标志寄存器被更改);return result;
}int main() {long long x = 2;unsigned int n = 10;printf("%lld^%u = %lld\n", x, n, power_asm(x, n));return 0;
}

代码解释

寄存器使用：
- result、x 和 n 都使用通用寄存器进行存储和操作。
- imull 指令用于有符号整数乘法，将两个数相乘并将结果存入第一个操作数。
关键指令：
- testl %1, %1: 测试寄存器 n 的最低位是否为 0。
- jz 2f: 如果 n 为 0，跳到标签 2（快速退出循环）。
- imull %2, %0: 进行乘法运算，将 x 乘到 result 上。
- shrl $1, %1: 将 n 右移一位（相当于将 n 除以 2）。
循环控制：
- 循环通过条件跳转 jnz 1b 来控制，直到 n 被移位到 0。