华为OD机试 - 分解连续正整数组合 - 数学推导（Java 2024 E卷 100分）

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专栏导读

本专栏收录于《华为OD机试（JAVA）真题（E卷+D卷+A卷+B卷+C卷）》。

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一、题目描述

给定一个正整数 n，如果能够分解为 m (m > 1) 个连续正整数之和，请输出所有分解中，m 最小的分解。

如果给定整数无法分解为连续正整数x，则输出字符串 “N”。

二、输入描述

输入数据为一整数 n，范围为 (1, 2^30]

三、输出描述

比如输入21，则输出21=10+11

四、测试用例

测试用例1：

1、输入

21

2、输出

21=10+11

3、说明

21可以分解的连续正整数组合的形式有多种：

21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

21 = 6 + 7 + 8

21 = 10 + 11

其中 21 = 10 + 11，是最短的分解序列。

测试用例2：

1、输入

24

2、输出

24 = 7 + 8 + 9

3、说明

五、解题思路

数学推导

假设 n 可以表示为 m 个连续正整数之和，设这些整数从 x 开始，形式为 x, x+1, x+2, …, x+(m-1)。

那么 n 的表达式为：n=x+(x+1)+(x+2)+...+(x+m−1)

这个和可以被化简为：

$$n=m\times x+\frac{m\times (m-1)}{2}$$

​进一步变换可以得到：

$$m\times x=n-\frac{m\times (m-1)}{2}$$

要使 x 为正整数，n - \frac{m \times (m - 1)}{2} 必须是 m 的倍数，且 x 也必须是正数。

遍历寻找最小的 m

从 m = 2 开始遍历，依次计算 x，判断 x 是否为正整数且大于零。

如果找到这样的 x，输出该分解形式，并结束程序。

如果在所有可能的 m 中都没有找到合适的 x，则输出 “N”。

六、Java算法源码

public class OdTest01 {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);long n = scanner.nextLong();scanner.close();// 从m = 2开始遍历，尝试找到最小的分解for (long m = 2; m * (m - 1) / 2 < n; m++) {// 计算xlong remainder = n - (m * (m - 1)) / 2;if (remainder % m == 0) {long x = remainder / m;if (x > 0) {printResult(n, x, m);return;}}}// 如果没有找到符合条件的m和x，输出NSystem.out.println("N");}// 打印结果 n = x + (x+1) + ... + (x+m-1)private static void printResult(long n, long x, long m) {StringBuilder result = new StringBuilder();result.append(n).append(" = ");for (long i = 0; i < m; i++) {if (i > 0) {result.append(" + ");}result.append(x + i);}System.out.println(result.toString());}
}

七、效果展示

1、输入

18

2、输出

18 = 5 + 6 + 7

3、说明

数学推导

假设 18 可以分解为 m 个连续正整数的和，设这些整数从 x 开始，形式为 x, x+1, x+2, …, x+(m-1)。

根据公式：

$$n=m\times x+\frac{m\times (m-1)}{2}$$

化简为：

$$m\times x=n-\frac{m\times (m-1)}{2}$$

我们需要找到最小的 m 使得 x 是正整数。

逐步计算 m 的值：

当 m = 2 时：

$$x=\frac{18-\frac{2\times (2-1)}{2}}{2}=\frac{18-1}{2}=\frac{17}{2}=8.5$$

不是整数，不符合

当 m = 3 时：

$$x=\frac{18-\frac{3\times (3-1)}{2}}{3}=\frac{18-3}{3}=\frac{15}{3}=5$$

是整数，符合。

因此，m = 3 时，x = 5 是一个符合条件的解。

当 m = 3 且 x = 5 时，连续的三个正整数分别为 5, 6, 7，它们的和为：

5 + 6 + 7 = 18

这说明 18 可以分解为 5, 6, 7 三个连续正整数的和。

🏆下一篇：华为OD机试 - 简易内存池 - 逻辑分析（Java 2024 D卷 200分）

🏆本文收录于，华为OD机试（JAVA）真题（E卷+D卷+A卷+B卷+C卷）

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