详解统计信号处理之克拉美罗界

　　假设一种最简单的情况：

　　　　一个物理量为，我们使用某种方式去观测它，观测值为，由于存在噪声，此时，为高斯噪声，。

这种情况下，我们自然会直接使用观测值去估计，这时就会存在估计的误差，直观地理解，噪声的方差越大，估计就可能越不准确。

　　讨论克拉美罗界就是为了使用这个标准来衡量无偏估计量的性能。

　　采用上面的方式，使用去估计，这个估计值会在真实值附近波动（看作随机变量）。我们需要使用一些标准来衡量这种估计的好坏，一个标准是估计值的平均，这里的这个估计量是无偏估计量。另一标准是这个估计值波动的剧烈程度，也就是方差。上面这个问题中，克拉美罗界就等于这个方差。

　　可是为什么不直接讨论方差而要去计算克拉美罗界呢，因为方差是针对某一种特定的估计量（或者理解为估计方式）而言的，在上面的例子中，方差是估计量的方差（）。对于稍微复杂一点点的问题，对的可以有各种不同的估计量，它们分别的方差是不同的。显然，对于无偏估计量而言，方差越小的估计方式性能越好，但是这个方差有一个下界，就是我们的克拉美罗界。

　　克拉美罗界本身不关心具体的估计方式，只是去反映：利用已有信息所能估计参数的最好效果。

　　还是上面那个参数估计问题，当我们观察到的时候，我们可以知道真实值的概率密度分布是以为均值，为方差的正态分布，即:

上图给出了两个似然函数的例子，直观地看，似然函数的“尖锐”性决定了我们估计位置参数的精度。这个“尖锐”性可以用对数似然函数峰值处的负的二阶导数来度量，即对数似然函数的曲率（对数似然函数就是在似然函数的基础山加一个自然对数，这样有利于计算）。计算过程我就不写了，有兴趣的可以自己算算，算完之后结果为：，是噪声的方差的倒数，也就是噪声越小，对数似然函数越尖锐。

　　所以，可以这样理解，似然函数的“尖锐”程度，或者，符合似然函数分布的这组数据的方差，就是克拉美罗界。

　　让我们来分析一个稍微复杂一点点的参数估计问题：

　　　　一个物理量为，我们使用某种方式去观测它，观测值为和，这是两个不同时刻的观测结果，一样的高斯噪声。

　　这种情况下，我们要估计，正常人可能会采用估计量，即前后两个观测的平均，也有人可能觉得这样计算量有点大，于是总是直接使用去估计，也有人觉得第二个观测值可能会受到系统影响而不准确，他更相信前面的观察值，于是总采取这样的估计量。这三个估计量都是无偏的：

　　估计量的方差为：

　　估计量的方差为：

　　估计量的方差为：

　　比较上面的三种估计量，第一种的方差最小，它的估计效果较好。实际上，如果第二个观测值真的不太准确，也就是后一个高斯噪声较大，这样的话也许第二个估计量就比较合适了。

　　因此，不同的考虑方式可以产生各种不同的估计算法，这些不同的估计量都是在真实值附近波动的随机变量(有的有偏，有的无偏)，它们分别的方差也是不一样的，但是数学家们证明了：任何无偏估计量的方差必定大于等于克拉美罗界。

　　我们假设这两次观察互相独立，仅受相同的高斯白噪声影响，那么根据已有的信息，真实值的似然函数为两个正态的概率密度分布相乘：（注意：pdf实际上应该再进行归一化处理，但是我们之后使用对数似然函数，乘不乘归一化系数都无所谓，对数之后变成了常数，求导的时候就没了）

与之前一样，可以计算出对数似然函数的二阶导数，得到结果为:。实际上，当观测数目为的时候，这个值将会是。也就是说，使用多个观测值的信息时，对数似然函数越“尖锐”。这个二阶导数（曲率）更一般的度量是(下面用来表示要估计的参数)：

它度量了对数似然函数的平均曲率（很多情况下曲率与的值有关，取数学期望使得它仅为的函数），被称为数据的Fisher信息，直观地理解，信息越多，下限越低，它具有信息测度的基本性质（非负的、独立观测的可加性）。一般来说，Fisher信息的倒数就是克拉美罗界了，任何无偏估计量的方差满足：

大多情况下，这个不等式的右边（克拉美罗界）是的函数。

 　　（定理：Cramer-Rao下限----标量参数）

　　假定PDF 满足“正则”条件（对于所有的）：

其中数学期望是对 求取的。那么，任何无偏估计量的方差必定满足：

其中导数是在的真值处计算的，数学期望是对求取的。而且，对于某个函数和，当且仅当

时，对所有达到下限的无偏估计量就可以求得。这个估计量是，它是MVU估计量（最小方差无偏估计），最小方差是。

　　估计一个参数，根据已有信息得到了似然函数（或者pdf），这个pdf的“尖锐”性，或者，符合似然函数分布的这组数据的方差，就是克拉美罗界，它可以通过对对数似然函数求二阶导再取倒数得到。克拉美罗界的计算不依赖具体的估计方式，它可以用来作为一个衡量估计方式好坏的标准，及估计量的方差越靠近克拉美罗界，效果越好。

 https://en.wikipedia.org/wiki/Cramér–Rao_bound

（注：本文主要参考《统计信号处理基础-估计与检测理论》-国外电子与通信教材系列）

在参数估计和统计中，Cramer-Rao界限（Cramer-Rao bound, CRB）或者Cramer-Rao下界（CRLB），表示一个确定性参数的估计的方差下界。命名是为了纪念Harald Cramer和Calyampudi Radhakrishna Rao。这个界限也称为Cramer-Rao不等式或者信息不等式。

它的最简单形式是：任何无偏估计的方差至少大于Fisher信息的倒数。一个达到了下界的无偏估计被称为完全高效的（fully efficient）。这样的估计达到了所有无偏估计中的最小均方误差（MSE，mean square error），因此是最小方差无偏（MVU，minimum variance unbiased）估计。

给定偏倚，Cramer-Rao界限还可以用于确定有偏估计的界限。在一些情况下，有偏估计方法的结果可能方差和均方差都小于无偏估计的Cramer-Rao下界。