[ARC050C] LCM 111 题解

本文主要是介绍[ARC050C] LCM 111 题解，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

一句话题解：

转化两个大数的 $\gcd$ ，再用迭代的思想求答案。

[ARC050C] LCM 111 题解

题目

题意

给你 $a$ , $b$ , $m$ ,其中 $1\le A,B\le 10^{18},2\le M\le 10^9$ ，让你求 $a$ 个 $1$ 和 $b$ 个 $1$ 的最小公倍数。

思路

我们构造一个函数 $\mathrm{one}(x)$ 表示 $x$ 个 $1$ 拼接起来，用数学语言表述就是：

$$\mathrm{one}(x)=\frac{10^x}{9}$$

同时又有 $\mathrm{lcm}(a,b)=a\ast b/\gcd (a,b)$ ，那么我们要求的就转化成了

$$\mathrm{one}(a)\ast \mathrm{one}(b)/\gcd (\mathrm{one}(a),\mathrm{one}(b))$$

因为 $\mathrm{one}(a)$ 与 $\mathrm{one}(b)$ 都比较好求，所以此时的问题就转移到了怎么求 $\gcd (\mathrm{one}(a),\mathrm{one}(a))$ 上来。

我们先尝试感性理解一下。可以发现：

$$\gcd (\mathrm{one}(a),\mathrm{one}(a))=\mathrm{one}(\gcd (a,b))$$

如何证明？我们可以这样想（本人数学不好，如有错误，还请大佬谅解orz）：

方法一

假设 $d\mid a$ ，那么存在 $\mathrm{one}(d)\mid \mathrm{one}(a)$ ，因为我们可以把 $\mathrm{one}(a)$ 恰好分成 $d$ 个 $1$ 一组， $\mathrm{one}(a)$ 除以 $\mathrm{one}(d)$ 之后，每组还剩一个一，并且商是一个整数。

因为 $\gcd (a,b)\mid a$ 且 $\gcd (a,b)\mid b$ ，

所以 $\mathrm{one}(\gcd (a,b))\mid \mathrm{one}(a)$ 且 $\mathrm{one}(\gcd (a,b))\mid \mathrm{one}(b)$ ，并且不可能存在比 $\mathrm{one}(\gcd (a,b))$ 更大的满足条件的数。

方法二（比较抽象、不严谨）

显而易见，存在：

$$\mathrm{one}(a)\mathrm{mod}\mathrm{one}(b)=\mathrm{one}(a\mathrm{mod}b)$$

那么就有：

$$\gcd (\mathrm{one}(a),\mathrm{one}(b))=\gcd (\mathrm{one}(b),\mathrm{one}(a)\mathrm{mod}\mathrm{one}(b))=\gcd (\mathrm{one}(b),\mathrm{one}(a\mathrm{mod}b))$$

当 $b==0$ 时， $\mathrm{one}(b)==0$。

所以在求 gcd 的过程中其实就是把 $a$ 和 $b$ 套在了 $\mathrm{one}()$ 里面，最后算出来就是 $\mathrm{one}(\gcd (a,b))$ 。

此时答案就变成了：

$$\mathrm{one}(a)\ast \mathrm{one}(b)/\mathrm{one}(\gcd (a,b))$$

我们把这个式子分成两组：

$$\mathrm{one}(a)$$

$$\mathrm{one}(b)/\mathrm{one}(\gcd (a,b))$$

接下来我们讨论对于这两组式子的求解方式。下文将省略模运算！！！

Tips：语言描述比较抽象，如果看不懂可以先尝试看看代码。

第一组

我们先从简单的说起。定义 $f_i$ 表示 $\mathrm{one}(i)$ ，写成递推式就是：

$$f_i=(10\ast f_{i-1}+1)$$

但是这样实现的话时间复杂度达到了 $O(n)$ ，过不了一点。我们根据数据范围进行推测：要么是 $O(1)$ ，要么是 $O(\log n)$ 。 $O(1)$ 不大可能，考虑 $O(\log n)$ 做法。

我们发现，可以用迭代的思想。我们把 $a$ 写作一个二进制数。比如：

$5=(101{)}_2=2^2+2^0=4+1$

那么我们就可以把 $4$ 个 $1$ 和 $1$ 个 $1$ 拼在一起。

考虑维护一个 $now$ 值与一个 $pow$ 值。最初 $now=1,pow=10$ 。假设现在算了 $x$ 位，那么 $now=\mathrm{one}(a),pow=10^a$ 。

对于当前这一位，如果需要，那么 $ans=ans\ast pow+now$ 。再去更新 $now$ 与 $pow$ ： $now=now\ast pow+now,pow=pow\ast pow$ ，同时 $a=a/2$ 。

最后的 $ans$ 即是答案。

第二组

同样定义 $f_i$ ，表示计算了 $i$ 组之后的答案。有：

$$f_i=(10^{\gcd (a,b)}\ast f_{i-1}+1)$$

我们要求的便是 $f_{b/\gcd (a,b)}$ 。

观察发现，这个式子与上一个长得挺像的，唯一区别就是 $10$ 变成了 $10^{\gcd (a,b)}$ 。这倒也好办。只用在开始时把 $pow$ 设为 $10^{\gcd (a,b)}$ 。不过由于 $\gcd (a,b)$ 很大，所以还要再写一个快速幂，这一组就这么解决了。

提交记录|快得飞起

ACode

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int a, b, p, d;
int gcd(int a, int b) {if(b == 0) return a;return gcd(b, a % b);
}
int qpow(int x, int y) {int ans = 1;while(y) {if(y & 1) ans = (ans * x) % p;y >>= 1;x = (x * x) % p;}return ans;
}
int cal(int x, int y) {int now = 1, npow = qpow(10, y), ans = 0;while(x) {if(x & 1) ans = ((ans * npow) % p + now) % p;x >>= 1;now = ((now * npow) % p + now) % p;npow = (npow * npow) % p;}return ans;
}
void solve() {cin >> a >> b >> p;d = gcd(a, b);cout << cal(a, 1) * cal(b / d, d) % p << endl;return;
}
signed main() {cin.tie(0);cout.tie(0);int T = 1;while(T--) solve();return 0;
}

这篇关于[ARC050C] LCM 111 题解的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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