局部凸空间及其在算子空间中的应用之三

本文主要是介绍局部凸空间及其在算子空间中的应用之三，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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数学是一种艺术，如同诗歌一样，它寻求美和简洁。—— André Weil

前言

本文继续该系列的上一篇文章，介绍一个特殊而重要的豪斯多夫局部凸空间，并证明其上的结论。然后我们给出了线性算子的连续性刻画的几个重要结论，方便后续文章的引用。

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一、豪斯多夫局部凸空间的例子

本文中，我们给出一个豪斯多夫局部凸空间的例子 $C^k(\Omega )$，并且说明它还是一个 Fréchet 空间（可赋准范且完备）。

例3.1 设 $\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是开区域， k ∈ N ∪ { 0 , ∞ } k\in \mathbb{N} \cup \{ 0, \infty \} k∈N∪{0,∞}。令
$$C^k(\Omega )=\left\{f|f:\Omega \to \mathbb{K}\text{连续并有直到 k 阶连续导数}\right\}$$ 在 $C^k(\Omega )$ 中定义通常的加法和数乘，则其构成向量空间。

对于 $K\subseteq \Omega$，若 $K$ 是紧集，则称 $K$ 紧包含于 $\Omega$，记作 $K\subset \subset \Omega$。对于任何 $K\subset \subset \Omega$， m ∈ N ∪ { 0 } m\in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} m∈N∪{0}，$m\le k$，令 $p_{K,m}:C^k(\Omega )\to \mathbb{R}$ 由
$$p_{K,m}(f)=\underset{\underset{x\in K}{s\le m}}{\sup }|D^s(f)|，\forall f\in C^k(\Omega )$$ 定义，则 $p_{K,m}$ 是 $C^k(\Omega )$ 上的半范。

其中
D s = ∂ ∣ s ∣ ∂ x 1 s 1 ∂ x 2 s 2 ⋯ ∂ x n s n , s = ( s 1 , ⋯ , s n ) , s i ∈ N ∪ { 0 } , ∀ i = 1 , 2 , ⋯ , n , ∣ s ∣ = ∑ i = 1 n s i D^s = \frac{\partial^{|s|}}{\partial x^{s_1}_1 \partial x^{s_2}_2 \cdots \partial x^{s_n}_n}, \; s=(s_1, \cdots, s_n), \\ s_i\in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}, \forall i =1,2,\cdots,n, |s|=\sum^n_{i=1} s_i Ds=∂x1s1​​∂x2s2​​⋯∂xnsn​​∂∣s∣​,s=(s1​,⋯,sn​),si​∈N∪{0},∀i=1,2,⋯,n,∣s∣=i=1∑n​si​ 我们验证，$p_{K,m}$ 是一个半范。先验证三角不等式，对于 $\forall f,g\in C^k(\Omega )$，
$$\begin{gathered} p_{K,m}(f+g)=\underset{\underset{x\in K}{s\le m}}{\sup }|D^s(f+g)|=\underset{\underset{x\in K}{s\le m}}{\sup }|D^s(f)+D^s(g)|\le \\ \underset{\underset{x\in K}{s\le m}}{\sup }|D^s(f)|+\underset{\underset{x\in K}{s\le m}}{\sup }|D^s(g)|=p_{K,m}(f)+p_{K,m}(g) \end{gathered}$$ 然后容易验证齐次性，对于任意的 $\alpha \in \mathbb{K}$，
$$\begin{gathered} p_{K,m}(\alpha f)=\underset{\underset{x\in K}{s\le m}}{\sup }|D^s(\alpha f)|= \\ |\alpha |\underset{\underset{x\in K}{s\le m}}{\sup }|D^s(f)|=|\alpha |p_{K,m}(f) \end{gathered}$$ 因此 $p_{K,m}$ 是一个半范。

构造半范系 P = { p K , m ∣ K ⊂ ⊂ Ω , m ∈ N ∪ { 0 } ， m ≤ k } \mathcal{P} = \{ p_{K,m} | \; K \subset \subset \Omega, m\in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}，m \leq k\} P={pK,m​∣K⊂⊂Ω,m∈N∪{0}，m≤k}，则 $\mathcal{P}$ 还是可分点的半范系。

事实上，要证明对于任意的 $f\in C^k(\Omega )$，$f\ne 0$，存在 $p_{K_0,m_0}$，使得 $p_{K_0,m_0}(f)>0$。

对于上述 $f$，不妨取 $x_0\in \Omega$，使得 $f(x_0)\ne 0$。由 $f$ 连续可知，存在紧集 $K_0\subset \subset \Omega$，$x\in K_0$（因为 ${\mathbb{R}}^n$ 的开区域 $\Omega$ 是局部紧的）且满足 $f(x)\ne 0,\forall x\in K_0$。现取 $p_{K_0,0}$，则有 $p_{K_0,0}(f)=\underset{x^{\prime }\in K_0}{\sup }|f(x^{\prime })|>0$。因此 $\mathcal{P}$ 是向量空间 $C^k(\Omega )$ 上的一族可分点半范系。从而由 $\mathcal{P}$ 确定的是一个豪斯多夫局部凸拓扑，记为 ${\tau }_{C^k}$。

接下来我们给出 $C^k(\Omega )$ 中序列收敛的充要条件。

定理 3.2 设 $f,f_n\in C^k(\Omega )$，则 { f n } n ∈ N \{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}} {fn​}n∈N​ 在 $C^k(\Omega )$ 中收敛于 $f$ 的充要条件是，对于任意的 $K\subset \subset \Omega$，一切 m ∈ N ∪ { 0 } m \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} m∈N∪{0}，$m\le k$， { D m ( f n ) } n ∈ N \{ D^m (f_n) \}_{n \in \mathbb{N}} {Dm(fn​)}n∈N​ 在 $x\in K$ 上一致收敛于 $D^m(f)$。

证明定理3.2：由前推后。我们首先需要解释定理2.14 中豪斯多夫局部凸空间 $C^k(\Omega )$ 中收敛性的含义。根据可分点半范族的构造， P = { p K , m ∣ K ⊂ ⊂ Ω , m ∈ N ∪ { 0 } ， m ≤ k } \mathcal{P} = \{ p_{K,m} | \; K \subset \subset \Omega, m\in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}，m \leq k\} P={pK,m​∣K⊂⊂Ω,m∈N∪{0}，m≤k}，可得对应的原点邻域：
V ( p K j 1 , m j 1 , ⋯ , p K j n , m j n ; ε ) = { f ∈ C k ( Ω ) ∣ max ⁡ 1 ≤ i ≤ n p K j i , m j i ( f ) < ε } V(p_{K_{j_1},m_{j_1}}, \cdots, p_{K_{j_n},m_{j_n}}; \varepsilon)= \\ \{ f \in C^k(\Omega) | \; \underset{1\leq i \leq n}{\max} p_{K_{j_i},m_{j_i}}(f) < \varepsilon\} V(pKj1​​,mj1​​​,⋯,pKjn​​,mjn​​​;ε)={f∈Ck(Ω)∣1≤i≤nmax​pKji​​,mji​​​(f)<ε} 再记这样的集合的全体构成之族为
B 0 = { V ( p K j 1 , m j 1 , ⋯ , p K j n , m j n ; ε ) ∣ ∀ ε > 0 , ∀ p K j i , m j i ∈ P , m j i ≤ k , 1 ≤ i ≤ n , ∀ n ∈ N } \mathscr{B_0}=\{ V(p_{K_{j_1},m_{j_1}}, \cdots, p_{K_{j_n},m_{j_n}}; \varepsilon) | \; \forall \varepsilon>0, \\ \forall p_{K_{j_i},m_{j_i}}\in \mathcal{P}, m_{j_i}\leq k, 1\leq i \leq n,\forall n \in \mathbb{N}\} B0​={V(pKj1​​,mj1​​​,⋯,pKjn​​,mjn​​​;ε)∣∀ε>0,∀pKji​​,mji​​​∈P,mji​​≤k,1≤i≤n,∀n∈N} 则 ${\mathcal{B}}_0$ 系豪斯多夫局部凸拓扑 ${\tau }_{C^k}$ 的原点邻域基。至于 { f n } n ∈ N \{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}} {fn​}n∈N​ 在 $C^k(\Omega )$ 中收敛于 $f$，应该这样理解，对于任意的 $V\in {\mathcal{B}}_0$，不妨取 $V=V(p_{K,m};\epsilon )$，存在 $N>0$，当 $n>N$ 时，有 $f_n-f\in V$，也即 $p_{K,m}(f_n-f)<\epsilon$。此即任意的 $K\subset \subset \Omega$，任意的 $m\le k$，任意的 $\epsilon >0$（因为 V 可以任取形如 $V(p_{K,m};\epsilon )$ 的原点邻域），当 $n>N$ 时，都有 $p_{K,m}(f_n-f)<\epsilon$，即 $\underset{\underset{x\in K}{s\le m}}{\sup }|D^s(f_n-f)|<\epsilon$，也即有 $\underset{x\in K}{\sup }|D^m(f_n)-D^m(f)|<\epsilon$。

上面的推导说明，任意的 $K\subset \subset \Omega$，以及任意的 $m\le k$，我们有序列 { D m ( f n ( x ) ) } n ∈ N \{ D^m (f_n (x))\}_{n \in \mathbb{N}} {Dm(fn​(x))}n∈N​ 在 $x\in K$ 上一致收敛于 $D^m(f(x))$（数学分析意义）。

反过来，由后推前的证明，则是很容易能够实现的，作为练习留给读者。$\square$

最后我们来证明，$C^k(\Omega )$ 不但可以赋准范，而且关于准范还是完备的。

定理3.3 $C^k(\Omega )$ 是 Fréchet 空间。

本定理的证明较长，请读者耐心阅读。

证明定理3.3：取 $K_n\subset \subset \Omega$，满足
$$K_n\subset \subset \text{int}(K_{n+1}),\forall n\in \mathbb{N}，\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }{K}_n$$ 下面验证半范系 P ′ = { p K n , m ∣ n ∈ N , m ∈ N ∪ { 0 } , m ≤ k } \mathcal{P}' = \{ p_{K_n, m} | \; n \in \mathbb{N}, m\in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}, m\leq k \} P′={pKn​,m​∣n∈N,m∈N∪{0},m≤k} 与 P = { p K , m ∣ K ⊂ ⊂ Ω , m ∈ N ∪ { 0 } ， m ≤ k } \mathcal{P}=\{ p_{K,m} | \; K \subset \subset \Omega, m\in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}，m \leq k\} P={pK,m​∣K⊂⊂Ω,m∈N∪{0}，m≤k} 等价。

先证明 ${\mathcal{P}}^{\prime }$ 强于 $\mathcal{P}$。对于任意的 $p_{K,m}\in \mathcal{P}$（不妨假设 $K$ 是紧集，如果不是也可以找到一个比 $K$ 稍微大一点的紧集 $K^{\prime }\subset \subset \Omega$），$p_{K,m}(f)=\underset{\underset{x\in K}{s\le m}}{\sup }|D^s(f)|$。因为 $\Omega ={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{K}_n={\bigcup }_{n=1}^{\infty }\text{int}(K_n)$，$K\subseteq {\bigcup }_{n=1}^{\infty }\text{int}(K_n)$ 是紧集，故存在有限子覆盖 $K_{n_1},\cdots ,K_{n_s}$，使得 $K\subseteq {\bigcup }_{j=1}^s{K}_{n_j}$。因此 $p_{K,m}(f)\le {\sum }_{j=1}^s{p}_{K_{n_j},m}(f)$，$\forall f\in C^k(\Omega )$。故 ${\mathcal{P}}^{\prime }$ 强于 $\mathcal{P}$。

反过来，证明 $\mathcal{P}$ 强于 ${\mathcal{P}}^{\prime }$。对于任意的 $p_{K_n,m}\in {\mathcal{P}}^{\prime }$，显然可以取 $p_{K_n,m}\in \mathcal{P}$，使得 $p_{K_n,m}(f)\le p_{K_n,m}(f)$，$\forall f\in C^k(\Omega )$。故 $\mathcal{P}$ 强于 ${\mathcal{P}}^{\prime }$。

综上，$\mathcal{P}$ 与 ${\mathcal{P}}^{\prime }$ 等价。${\mathcal{P}}^{\prime }$ 导出的仍然是之前的豪斯多夫局部凸拓扑 ${\tau }_{C^k}$，由于 ${\mathcal{P}}^{\prime }$ 是可数可分半范系（同前面的证明类似，这里的可分性是显然的），由定理2.12可得，$(C^k(\Omega ),{\tau }_{C^k})$ 是线性赋准范空间，其准范数由下述系列式子确定，首先固定 $n$，套用定理2.12并建立 $\Vert f{\Vert }_{n,C^k}$ 的表达式：
$$\Vert f{\Vert }_{n,C^k}=\sum _{m=0}^k\frac{p_{K_n,m}(f)}{2^m(1+p_{K_n,m}(f))},\forall f\in C^k(\Omega )$$ 这也可以理解为 $C^k(K_n)$ 中的准范数。接着再由 $\Vert f{\Vert }_{n,C^k}$ 以及类似的表达式可以得到 $\Vert f{\Vert }_{C^k}$：
$$\Vert f{\Vert }_{C^k}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\Vert f{\Vert }_{n,C^k}}{2^n(1+\Vert f{\Vert }_{n,C^k})},\forall f\in C^k(\Omega )$$ 则 $\Vert \cdot {\Vert }_{C^k}：C^k(\Omega )\to \mathbb{R}$ 是 $C^k(\Omega )$ 上的准范数。

下面我们证明这个结论（上一篇文章中的定理2.12的证明与此类似）。

显然 $\Vert f{\Vert }_{C^k}\ge 0$。由 ${\mathcal{P}}^{\prime }$ 可分点，可得 $\Vert f{\Vert }_{C^k}=0$ 当且仅当 $\Vert f{\Vert }_{n,C^k}=0$（$\forall n\ge 1$），当且仅当 $p_{K_n,m}(f)=0$（$\forall n\ge 1$ 且 $\forall m\le k$），当且仅当 $f\equiv 0$。

又由 $\frac{t}{1+t}$ 在 $[0,+\infty )$ 上的单调递增性质，由 $p_{K_n,m}$ 的三角不等式可推出 $\Vert f{\Vert }_{n,C^k}$ 的三角不等式，进一步由 $\Vert f{\Vert }_{n,C^k}$ 的三角不等式可推出 $\Vert f{\Vert }_{C^k}$ 的三角不等式。

由 $p_{K_n,m}(-f)=p_{K_n,m}(f)$ 可得 $\Vert -f{\Vert }_{C^k}=\Vert f{\Vert }_{C^k}$。

最后验证准范数的两个极限性质。任意的 $f\in C^k(\Omega )$， { α m ∣ m ≥ 1 } ⊂ K \{ \alpha_m | \; m\geq 1 \} \subset \mathbb{K} {αm​∣m≥1}⊂K，若 ${\lim }_{m\to \infty }{\alpha }_m=0$，则有：
$$\begin{gathered} \Vert {\alpha }_{m}f{\Vert }_{C^k}\le \sum _{n=1}^j\frac{\Vert {\alpha }_{m}f{\Vert }_{n,C^k}}{2^n(1+\Vert {\alpha }_{m}f{\Vert }_{n,C^k})}+\sum _{n=j+1}^{\infty }\frac{1}{2^n}= \\ \sum _{n=1}^j\frac{\Vert {\alpha }_{m}f{\Vert }_{n,C^k}}{2^n(1+\Vert {\alpha }_{m}f{\Vert }_{n,C^k})}+\frac{1}{2^j} \end{gathered}$$ 其中，$j$ 取任意的正整数。$\Vert {\alpha }_{m}f{\Vert }_{n,C^k}$ 作为 $C^k(K_n)$ 中的准范数，满足连续性，即 ${\lim }_{m\to \infty }\Vert {\alpha }_{m}f{\Vert }_{n,C^k}=0$。因此，上面不等式中对 $m$ 取上极限可得：
$$\underset{m\to \infty }{\overline{\lim }}\Vert {\alpha }_{m}f{\Vert }_{C^k}\le \frac{1}{2^j}$$ 最后对上式右边关于 $j$ 取极限，可得 $\underset{m\to \infty }{\overline{\lim }}\Vert {\alpha }_{m}f{\Vert }_{C^k}=0$，因此 $\underset{m\to \infty }{\lim }\Vert {\alpha }_{m}f{\Vert }_{C^k}=0$。这验证了准范数的第一个极限性质。

然后验证第二个极限性质。对于 $\forall \alpha \in \mathbb{K}$， { f m ∣ m ≥ 1 } ⊂ C k ( Ω ) \{ f_m | \; m \geq 1 \} \subset C^k(\Omega) {fm​∣m≥1}⊂Ck(Ω)，若 ${\lim }_{m\to \infty }\Vert f_m{\Vert }_{C^k}=0$，则
$$\begin{gathered} \Vert \alpha f_m{\Vert }_{C^k}\le \sum _{n=1}^j\frac{\Vert \alpha f_m{\Vert }_{n,C^k}}{2^n(1+\Vert \alpha f_m{\Vert }_{n,C^k})}+\sum _{n=j+1}^{\infty }\frac{1}{2^n}= \\ \sum _{n=1}^j\frac{\Vert \alpha f_m{\Vert }_{n,C^k}}{2^n(1+\Vert \alpha f_m{\Vert }_{n,C^k})}+\frac{1}{2^j} \end{gathered}$$ 运用上面完全一样的方式，可以证明 $\underset{m\to \infty }{\lim }\Vert \alpha f_m{\Vert }_{C^k}=0$。

综上，$\Vert \cdot {\Vert }_{C^k}：C^k(\Omega )\to \mathbb{R}$ 是 $C^k(\Omega )$ 上的准范数。

下面验证由 $\Vert \cdot {\Vert }_{C^k}$ 诱导的度量向量拓扑 ${\tau }^{\prime }$ 与原拓扑 ${\tau }_{C^k}$ 一致（上一篇文章中的定理2.12的证明与此类似）。

记 V m = { f ∈ C k ( Ω ) ∣ ∥ f ∥ C k < 1 / m } V_m=\{ f\in C^k(\Omega) | \; \| f \|_{C^k}< 1/m \} Vm​={f∈Ck(Ω)∣∥f∥Ck​<1/m}，显然 { V m ∣ m ≥ 1 } \{ V_m | \; m\geq 1 \} {Vm​∣m≥1} 是 ${\tau }^{\prime }$ 的一个原点邻域基。记
V ( p K n 1 , m n 1 , ⋯ , p K n s , m n s ; ε ) = { f ∈ C k ( Ω ) ∣ max ⁡ 1 ≤ i ≤ s p K n i , m n i ( f ) < ε } V(p_{K_{n_1},m_{n_1}}, \cdots, p_{K_{n_s},m_{n_s}};\varepsilon)= \\ \{ f\in C^k(\Omega) | \; \underset{1\leq i \leq s}{\max} p_{K_{n_i},m_{n_i}}(f) < \varepsilon \} V(pKn1​​,mn1​​​,⋯,pKns​​,mns​​​;ε)={f∈Ck(Ω)∣1≤i≤smax​pKni​​,mni​​​(f)<ε} 由前面的证明知，
B 0 = { V ( p K n 1 , m n 1 , ⋯ , p K n s , m n s ; ε ) ∣ ∀ ε > 0 , ∀ p K n i , m n i ∈ P , m n i ≤ k , 1 ≤ i ≤ s , ∀ s ∈ N } \mathscr{B_0}=\{ V(p_{K_{n_1},m_{n_1}}, \cdots, p_{K_{n_s},m_{n_s}}; \varepsilon) | \; \forall \varepsilon>0, \\ \forall p_{K_{n_i},m_{n_i}}\in \mathcal{P}, m_{n_i}\leq k, 1\leq i \leq s,\forall s \in \mathbb{N}\} B0​={V(pKn1​​,mn1​​​,⋯,pKns​​,mns​​​;ε)∣∀ε>0,∀pKni​​,mni​​​∈P,mni​​≤k,1≤i≤s,∀s∈N} 是 ${\tau }_{C^k}$ 的原点邻域基。

任意取定 $V(p_{K_{n_1},m_{n_1}},\cdots ,p_{K_{n_s},m_{n_s}};\epsilon )$，对于任意的 $f\in V_m$，有
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\Vert f{\Vert }_{n,C^k}}{2^n(1+\Vert f{\Vert }_{n,C^k})}<\frac{1}{m}$$ 也就是对于任意的 $n\ge 1$，有
$$\begin{gathered} \frac{\Vert f{\Vert }_{n,C^k}}{2^n(1+\Vert f{\Vert }_{n,C^k})}<\frac{1}{m}, \\ (m-2^n)\Vert f{\Vert }_{n,C^k}<2^n, \end{gathered}$$ 当 $1\le n\le k^{\prime }$ 且 $m>2^{k^{\prime }}$ 时，
$$\Vert f{\Vert }_{n,C^k}<\frac{2^{k^{\prime }}}{m-2^{k^{\prime }}}$$ 再取 $m$ 充分大（对应存在的 $V_m$ 充分小），可以保证（${\epsilon }^{\prime }>0$ 由后文待定）
$$\Vert f{\Vert }_{n,C^k}<{\epsilon }^{\prime }$$ 即得到
$$\begin{gathered} \sum _{m^{\prime }=0}^k\frac{p_{K_n,m^{\prime }}(f)}{2^{m^{\prime }}(1+p_{K_n,m^{\prime }}(f))}<{\epsilon }^{\prime }, \\ \frac{p_{K_n,m^{\prime }}(f)}{2^{m^{\prime }}(1+p_{K_n,m^{\prime }}(f))}<{\epsilon }^{\prime },0\le m^{\prime }\le k, \\ (1-{\epsilon }^{\prime }{2}^{m^{\prime }})p_{K_n,m^{\prime }}(f)<{\epsilon }^{\prime }{2}^{m^{\prime }},0\le m^{\prime }\le k, \\ {p}_{K_n,m^{\prime }}(f)<\frac{2^{m^{\prime }}}{1/{\epsilon }^{\prime }-2^{m^{\prime }}},0\le m^{\prime }\le k, \end{gathered}$$ 对于 $0\le m^{\prime }\le k$，当 ${\epsilon }^{\prime }$ 充分小后，可以保证 $p_{K_n,m^{\prime }}(f)<\epsilon$。

这就表明，对于 $V(p_{K_{n_1},m_{n_1}},\cdots ,p_{K_{n_s},m_{n_s}};\epsilon )$，取 $K_{n_0}=\max (K_{n_1},\cdots ,K_{n_s})$，在上述证明中关于 $n$ 取 $n=n_0$，则存在充分小的 $V_m$，使得 $\forall f\in V_m$ 时，有 $p_{K_{n_0},m^{\prime }}(f)<\epsilon$，其中 $0\le m^{\prime }\le k$。显然有 $p_{K_{n_i},m^{\prime }}(f)\le p_{K_{n_0},m^{\prime }}(f)<\epsilon$ 对任意的 $0\le m^{\prime }\le k$ 皆成立。这就证明了 $f\in V(p_{K_{n_1},m_{n_1}},\cdots ,p_{K_{n_s},m_{n_s}};\epsilon )$，因此
$$V_m\subseteq V(p_{K_{n_1},m_{n_1}},\cdots ,p_{K_{n_s},m_{n_s}};\epsilon ).$$ 任意取定 $V_m$，则由 $f\in V(p_{K_{n_1},m_{n_1}},\cdots ,p_{K_{n_s},m_{n_s}};\epsilon )$ 可得
$$\begin{gathered} \underset{1\le i\le s}{\max }{p}_{K_{n_i},m_{n_i}}(f)<\epsilon , \\ \Vert f{\Vert }_{n_i,C^k}=\sum _{m^{\prime }=0}^k\frac{p_{K_{n_i},m^{\prime }}(f)}{2^{m^{\prime }}(1+p_{K_{n_i},m^{\prime }}(f))} \end{gathered}$$ 我们的目标是要使得 $V(p_{K_{n_1},m_{n_1}},\cdots ,p_{K_{n_s},m_{n_s}};\epsilon )$ 尽可能小，可以通过将 $m_{n_i}$ 都取到最大值 $k$ 的形式，得到更小的邻域：
$$V(p_{K_{n_1},k},\cdots ,p_{K_{n_s},k};\epsilon )\subseteq V(p_{K_{n_1},m_{n_1}},\cdots ,p_{K_{n_s},m_{n_s}};\epsilon )$$ 任取 $f\in V(p_{K_{n_1},k},\cdots ,p_{K_{n_s},k};\epsilon )$，不妨记 $K_{n_0}=\max (K_{n_1},\cdots ,K_{n_s})$，则对任意的 $0\le m^{\prime }\le k$，$1\le n\le n_0$ 有
$$p_{K_n,m^{\prime }}(f)\le p_{K_{n_0},m^{\prime }}(f)<p_{K_{n_0},k}(f)<\epsilon$$ 因此，对于 $1\le n\le n_0$，
$$\begin{gathered} \Vert f{\Vert }_{n,C^k}=\sum _{m^{\prime }=0}^k\frac{p_{K_n,m^{\prime }}(f)}{2^{m^{\prime }}(1+p_{K_n,m^{\prime }}(f))}< \\ \sum _{m^{\prime }=0}^k\frac{\epsilon }{2^{m^{\prime }}(1+\epsilon )}=\frac{(2-1/2^k)\epsilon }{1+\epsilon } \end{gathered}$$ 当 $\epsilon$ 充分小时，有 $\Vert f{\Vert }_{n,C^k}<{\epsilon }^{\prime }$ （${\epsilon }^{\prime }>0$ 由后文待定）
从而有
$$\begin{gathered} \Vert f{\Vert }_{C^k}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\Vert f{\Vert }_{n,C^k}}{2^n(1+\Vert f{\Vert }_{n,C^k})}< \\ \sum _{n=1}^{n_0}\frac{{\epsilon }^{\prime }}{2^n(1+{\epsilon }^{\prime })}+\sum _{n=n_0+1}^{\infty }\frac{1}{2^n}= \\ (1-1/2^{n_0})\frac{{\epsilon }^{\prime }}{1+{\epsilon }^{\prime }}+\frac{1}{2^{n_0}} \end{gathered}$$ 当 $\frac{{\epsilon }^{\prime }}{1+{\epsilon }^{\prime }}<\frac{1}{2m}$，且 $\frac{1}{2^{n_0}}<\frac{1}{2m}$ 时，显然有 $\Vert f{\Vert }_{C^k}<\frac{1}{m}$。

此即当 $n_0$ 充分大（$K_{n_0}=\max (K_{n_1},\cdots ,K_{n_s})$ 相应要取到靠后的 $K_n$），${\epsilon }^{\prime }$ 充分小（对应 $\epsilon$ 充分小）时，任意的 $f\in V(p_{K_{n_1},k},\cdots ,p_{K_{n_s},k};\epsilon )$，都有 $f\in V_m$，此即找到一原点邻域基中的邻域 $V(p_{K_{n_1},k},\cdots ,p_{K_{n_s},k};\epsilon )$，使得
$$V(p_{K_{n_1},k},\cdots ,p_{K_{n_s},k};\epsilon )\subseteq V_m$$ 这便是两个原点领域基的等价证明，因此由准范数 $\Vert f{\Vert }_{C^k}$ 诱导的拓扑 ${\tau }^{\prime }$ 与原拓扑 ${\tau }_{C^k}$ 是一致的，即 ${\tau }^{\prime }={\tau }_{C^k}$。

该准范数诱导了一个平移不变的度量 ${\rho }_{C_k}(f,g)=\Vert f-g{\Vert }_{C_k}$，$C^k(\Omega )$ 是度量向量空间。

最后，为证明 $C^k(\Omega )$ 的完备性，我们要借用定理3.2，对于任意柯西序列 $f_n\in C^k(\Omega )$，则对于任意取定的 $K\subset \subset \Omega$，$s\le k$，以及任意的 $\epsilon >0$，存在 $N>0$，当 $n,m>N$ 时，对于任意的 $x\in K$，都有 $|D^s(f_n(x))-D^s(f_m(x))|<\epsilon$。显然存在一个极限函数 $f_s(x)$，令 $m\to \infty$，则得 $|D^s(f_n(x))-f_s(x)|\le \epsilon$，即在 $K$ 上，$D^s(f_n(x))\rightrightarrows f_s(x)$，特别有，$f_n(x)\rightrightarrows f(x)$（$=f_0(x)$）。根据数学分析中的结论知，${\lim }_{n\to \infty }{D}^s(f_n(x))=D^s({\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x))=D^s(f(x))$，表明 $f\in C^k(\Omega )$。说明 $C^k(\Omega )$ 是完备的。 因此 $C^k(\Omega )$ 是 Fréchet 空间。 $\square$

二、线性算子的连续性刻画

我们不加证明地给出下述结论，作为后面内容的参考。有兴趣的读者，可以自行证明。

定理3.4 设 $X$ 是豪斯多夫拓扑向量空间，$Y$ 是豪斯多夫局部凸空间，$T:X\to Y$ 是线性算子， { q λ : λ ∈ Λ } \{ q_{\lambda}: \lambda \in \Lambda \} {qλ​:λ∈Λ} 是生成 $Y$ 的拓扑的可分点连续半范系，则 $T$ 连续当且仅当 $\forall \lambda \in \Lambda$，$q_{\lambda }\circ T$ 是连续的。

这个定理就告诉我们，线性算子的连续性，完全由其半范系所确定。进一步，若 $X$ 也是豪斯多夫局部凸空间，那么我们有下述定理。

定理3.5 设 $X$，$Y$ 是豪斯多夫局部凸空间， P = { p α } P=\{ p_{\alpha} \} P={pα​} 和 Q = { q β } Q=\{ q_{\beta} \} Q={qβ​} 分别是 $X$，$Y$ 的可分点连续半范系，$T:X\to Y$ 是线性算子，则 $T$ 连续当且仅当对于每个 $q_{\beta }\in Q$，存在 $C>0$ 以及 $p_{{\alpha }_1},\cdots ,p_{{\alpha }_n}\in P$，使得
$$q_{\beta }(Tx)\le C\underset{1\le i\le n}{\max }{p}_{{\alpha }_i}(x),\forall x\in X$$ 上述定理仍然通过半范系来讨论连续性，其好处在于我们仅仅通过更容易验证的有界性（不等式）即可得到 $T$ 的连续性，这是判断豪斯多夫局部凸空间中线性算子连续的强有力方法。

作为推论，我们可以得到线性泛函的对应结论。

推论 3.6 设 $(X,\tau )$ 是豪斯多夫局部凸空间，可分点连续半范系 { p α } \{ p_{\alpha} \} {pα​} 生成 $X$ 的拓扑 $\tau$，$f:X\to \mathbb{F}$ 是 $X$ 上的某个线性泛函，则 $f$ 是连续的当且仅当 $\exists C>0$ 和 $p_{{\alpha }_1},\cdots ,p_{{\alpha }_n}$ 使得
$$|f(x)|\le C\underset{1\le i\le n}{\max }{p}_{{\alpha }_i}(x),\forall x\in X$$ 前面的文章中，我们已经讨论过，对于豪斯多夫局部凸空间 $(X,\tau )$，$X$ 是可度量化的当且仅当 $X$ 上存在可数的可分连续半范系，使得 $\tau$ 由该半范系生成。因此我们有定理 3.7。

定理3.7 设 $X$ 是拓扑向量空间，则 $X$ 是 Fréchet 空间当且仅当 $X$ 上存在可数可分半范系，使得有该半范系生成的拓扑与 $X$ 上原拓扑一致并且 $X$ 是完备的。

结合上一篇文章中的定理2.8，我们有泛函分析中的一个重要结论：

定理3.8 设 $X$，$Y$ 是 Fréchet 空间，$T:X\to Y$ 是线性算子，则 $T$ 有界当且仅当 $T$ 连续。

关于（拓扑）有界集，我们陈述下面结论，也就是有界原点邻域可以直接构造原点邻域基：

设 $X$ 是拓扑向量空间，若 $V$ 是原点邻域，并且 $V$ 有界，则对于任何 ${\delta }_n\downarrow 0$， { δ n V ∣ n ≥ 1 } \{ \delta_n V | \; n \geq 1 \} {δn​V∣n≥1} 是 $X$ 的原点邻域基。

有界性是子集的概念，而局部有界则是空间的属性，继续回顾一下局部有界的概念。存在有界原点邻域的拓扑向量空间称为局部有界空间。事实上，可赋范与有界性、局部有界性是有紧密关系的。

定理 3.9 设 $X$ 是豪斯多夫拓扑向量空间，则以下条件等价：

1. $X$ 可赋范；
2. 存在有界凸原点邻域（等价地，$X$ 中存在某个有界开凸集）；
3. $X$ 是局部凸空间且是局部有界的。

下面我们简单引入一个非局部凸空间，这类空间在线性泛函理论中往往都不讨论。

在局部 p-凸空间中， 比如 $L^p(\Omega )$ $(0<p<1)$，就不是一个局部凸空间。其上有平移不变度量 $d(f,g)={\int }_{\Omega }|f(x)-g(x){|}^{p}dx$，原点邻域基为 B ( 0 , r ) = { f ∣ d ( f , 0 ) < r } B(0, r) = \{ f| \; d(f,0) <r\} B(0,r)={f∣d(f,0)<r}。显然 $B(0,1)$ 是有界集，因为任意的原点邻域 $V$，存在 $B(0,r_0)\subseteq V$，且有 $B(0,1)=\frac{1}{r_0^{1/p}}B(0,r_0)$，故有 $B(0,1)\subseteq \frac{1}{r_0^{1/p}}V$。因此 $L^p(\Omega )$ 局部有界。因为 $B(0,r)=r^{1/p}B(0,1)$，所以进一步每个 $B(0,r)$ 是有界的（有界集的常数倍是有界集）。但是除去 { 0 } \{ 0 \} {0} 与整个空间外，$L^p(\Omega )$ 中不存在任何别的开凸集，因此 $L^p(\Omega )$ 不是局部凸空间。

对于任意一个连续线性算子 $T:L^p(\Omega )\to X$，其中 $X$ 是豪斯多夫局部凸空间，$0<p<1$，则 $T$ 只能是 $0$ 算子，因此如果还有其它的连续算子，那么 $T$ 一定是非线性的。另外，数域是显然的豪斯多夫局部凸空间，对于 $T$ 是连续线性泛函的情形，我们也有类似的结论。

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总结

本文介绍了豪斯多夫局部凸空间的一个例子 $C^k(\Omega )$（$0\le k\le \infty$），该空间在分析中经常被讨论，并且给出了其上的准范数，并验证了它也是一个 Fréchet 空间。后面介绍了豪斯多夫局部凸空间中连续线性算子的性质，这比在更一般的拓扑向量空间中讨论算子的连续性将来得方便。因此豪斯多夫局部凸空间是一类特殊的拓扑向量空间，在这类空间里面，有更好的拓扑和泛函（算子）性质。更利于进行分析方面的研究。

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这篇关于局部凸空间及其在算子空间中的应用之三的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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