本文主要是介绍算法题解记录30+++乘积最大子序列（百题筑基），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
我是蚊子码农，本次为大家带来一道经典的“动态规划”问题解题思路。
一、题目描述
给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续
子数组
（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。
测试用例的答案是一个 32-位 整数。
示例 1:
输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。
示例 2:
输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。
提示:
1 <= nums.length <= 2 * 104
-10 <= nums[i] <= 10
nums 的任何子数组的乘积都 保证 是一个 32-位 整数
二、解题准备
过去，这一部分会从“题意”、“基础操作”、“基本原理”出发，进行讲解。
为了减少文章复杂性，默认读者理解题意【假设有易错的题目，我会讲解】、熟悉大部分通用数据结构的操作、了解常规题目的基本原理。
本部分，正式修改为，只描述一种朴素的、以遍历为主要方法的解决方案。
按本题为例，对于这道题，不难从遍历的角度出发。
第一，遍历的思路
我们要求最大的乘积子序列。
第一步，可以先从下标0开始，依次遍历数组【0】、【0，1】、【0，1，2】、……【0，1，……n-1】
得到其中最大的max，这时，max代表了以0开始的，最大的乘积子序列。
同理，迭代进行。
从下标1开始，依次遍历数组【1】、【1，2】……【1，2，……n-1】。
得到以1开始的、最大的乘积子序列。
接着是以下标2开始、3开始、……一直到n-1开始……
第二，遍历的正确性证明
AA.子序列组合的数目证明
第一，假设有一数组【0】，那么，其子序列只有【0】一个。（子序列，要求必须有元素）
第二，假设有数组【0，1】，那么，子序列有【0】【0，1】【1】3个。
第三，假设有数组【0，1，2】，那么有6个。
实际上，如果从末尾添加的元素的角度出发（比如第二里的“1”，第三里的“2”），该数组里的其它元素，都要和末尾元素作用，一共n-1个，另外，还要有末尾元素自身成子序列，所以一共新增n个。
举个例子，对于【0，1】数组，新增一个元素【2】，新生的数组【0，1，2】，比较原数组，增加了3个子序列
【0，1，2】， 【1，2】， 【2】。
证明子序列的增加规律后，我们列举数组长度，与子序列数目的关系。
当数组长度为1时，有1个子序列。
当数组长度为2时，有3个子序列。
当数组长度为3时，有6个子序列。
……
很容易得到，当数组长度为n时，有n * （n+1）/2个子序列。
AB.子序列遍历未重复、无空集、数目合规证明
这个非常好理解，由于每次遍历，元素开头的下标、结尾的下标都不同，容易得知。
比如数组【0，1，2】
按照遍历的顺序，
第一个以0开头，遍历到2结尾，也就是会遍历3个子序列。
【0】，【0，1】，【0，1，2】
第二个以1开头，遍历到2结尾
【1】，【1，2】
第三个以2开头
【2】
容易看到，不会产生空集、重复问题。
而且，数目也合理。【在此不再证明，本质和上面类似。】
AC.子序列遍历时，遍历的数据满足子序列结构证明
其实依照上面的例子，也能发现不会出错。
也就是说，结构满足。【不满足的情况不说了，不属于定义问题，而是实现问题】
第三， 遍历的缺点
遍历实现的代码，在力扣152题是可以过关的。
但是，时间复杂度很高，是O（n的平方），所以，答案只能超过3%的人。
其实大家估计也猜到了，既然使用了动态规划，必然会优化遍历最大的缺点–“重复计算过多”的问题。
举个例子，对于数组【0，1，2】
遍历时，以0下标开始，有3次计算
【0】，【0，1】，【0，1，2】
这里不存在重复，因为【0】*【1】得到子序列【0，1】的值。
【0，1】的值 乘以【2】得到【0，1，2】的值。
然而，到了以1下标开始时，有2次运算。
【1】，【1，2】
【0，1，2】的运算，本质包含了【1，2】的运算。
如果硬要说，其实把【1】的运算也包括了。
所以，遍历代码复杂度过高，不适合工程。
三、解题方案【动态规划】
这道题的动态规划，其实相当复杂，用起来一知半解。
为了解决问题，我们首先要用一些特例，来思考这道问题。
注意：这些数组不包含0。【实际问题会有，但是并不影响题目结构】
第一，全是正数的数组。
对于数组【2，3，4，7】
容易得到，最大乘积子序列，就是整个数组。
由于题目给定的数据，必然>=1，所以即使有1，也不影响整个数组的结果。
第二，全是负数的数组
容易发现，存在2种情况。
对于数组【-2，-1，-3】
可以得到，最大为序列【-1】，结果为-1。
对于数组【-2，-3】
最大序列为整个数组，结果是6。
我们发现，如果负数有偶数个，那么整个数组即为结果。
如果负数是奇数个，最大的数据即为结果。
第三，常规数组
假设有数组【2，-5，-2，-4，3】
（答案：24）
此时，我们发现以上面两种结构，无法解释这个答案。
定义：累积量
我们定义一种概念，用于理解这些数据。
累积量：即从下标i到j中，绝对值最大的数。
很明显，对于题目数组，累积量最大为原数组（因为没有0，且绝对值都大于等于1），即 -240
在一个数组中，从下标0出发，累积量一定越来越大。
所以，可以得到累积量数组为
【2， -10， 20， -80， -240】
常规角度理解
声明：这个思路是我忽然想到的，虽然是错的，但是也是我后来理解的基础。
既然累积量一定是随着数组越来越大的，那么，
假使数组下标为k时， Num【k】小于0，并且累积量小于0，则最大值为累积量 乘以 Num【k】。
假使数组下标为k时，Num【k】小于0，而累积量大于0，则最大值为Num【k】。
假使数组下标为k时，Num【k】大于0，而累积量大于0，那么最大值即 累积量*Num【k】
同理。
错误讲解
想必大家也容易发现我的谬误。
这个理论，没法解释数组【2，-5，-2，-4，3】
因为，其答案为【-2，-4，3】，结果是24。
而我的理论，结果为20，是以【2，-5，-2】组成的。
错误的原因：累积量事实上，忽略了其它情况，而是单纯以下标0开始。【或者说，以0的下一位数据】
第一步，情况思考
对于数组【2，-5，-2，-4，3】来说，
不存在负数时，容易知道，计算所有值，就是最大值。
出现第一个负数-5时，很容易知道，不选择-5，就是最大值。
出现第二个负数，可知，计算所有值，就是最大值。
……
容易发现。
奇数次的负数个数，要么选择前半段，要么选择后半段。【前半段：删除最后一个负数；后半段：删除第一个负数】
偶数次负数个数，直接选择全部数组即可。
最特殊的，就是奇数次负数个数，我们无法确定其值，从前往后运算一遍，又大大浪费时间。
思考这样的问题：我们能不能用一些变量，将前后在隐性中比较呢？
又或者，我们干脆用一些变量，把这些累积量、奇数次负数、偶数次负数表示出来？
第二步，翻转定义【困难】
这一步比较复杂。
理论上，我们可以定义以下标i开始的，最大的子序列。
那么，我们同样可以逆转定义，定义以下标i结尾的，最大的子序列。
我们设这个值为imax。
我们很容易得到这样的信息：
这里数组内的定义，是指从0开始，到下标i的子数组。
当数组内负数为偶数时，imax代表着全部数组累积量。【也就是说，从0开始，到下标i】
当数组内负数为奇数时，imax代表后半段累积量。【即，从第二个负数开始，到下标i】
但是，imax在实现上是非常困难的。
因为imax【i】 并不是 imax【i-1】 * Nums【i】或者单纯的Nums【i】。
它需要进行特殊的情况判定。
第三步，特殊情况思考。
正数情况
我们有数组imax，已经从0到i-1都赋值了，并且，他们一定正确。
当Nums【i】为正数时，有2种情况。
假设imax【i-1】 大于 0，则imax【i】 = imax【i-1】 * Nums【i】；
假设imax【i-1】 小于 0，则imax【i】 = Nums【i】；
这没有问题。
负数情况
这时候产生了复杂情况。
imax本身不带有负数资料信息。
也就是说，通过imax数组，不能确定前面有几个负数。
无论是0个、1个、2个或者更多。
我们需要一个辅助数组，记录负数信息。
第四步，负数信息记录思考
我们之前使用过累积量的概念。
但是，很容易发生，这个概念对于imax的提取不完全正确。
对于【2， -5， -2， -4， 3】数组，
累积量数组为
【2， -10， 20， -80， -240】
本身累积量数组，也无法得到imax。
该怎么办呢？
我们知道，在Nums【i】为负数时，算出imax的关键，是得到Nums【i】前面的所有负数（除开第一个和更前面的数组数据）
事实上，对于imax，我们要清楚一件事：
每一个负数个数的变化，都是持续的、可中断的。
假使现在有2个负数，那么计算下一个imax时，至多增加1个负数。
不可能出现，计算下一个imax时，一下子增加2个负数的情况。
那么，我们思考imax的定义下，关于“累积量”的概念。
对于每一个imax【i】，它都一定是一个子序列，这个子序列要满足以下标i结尾，从0到第一个负数舍弃的子序列。
也就是说，imax【i】本身定义了一个累积量。【如果数组全为偶数负数，则全数组都为累积；否则，从第一个负数开始】
然而，我们知道，假设从第一个负数开始，就会遗漏掉0到第一个负数的子序列。
我们需要一个变量Lambda
- 当imax【i】代表着从第一个负数开始时，Lambda能把所有变量都承接；
- 当imax【i】代表着全数组时，Lambda要从第一个负数开始；【以提供imax运算】
第五步，负数信息记录方案
这个Lambda，本质和imax恰好相反。
当imax从全数组开始时，Lambda从第一个负数开始，这就表示Lambda必然是以i结尾的最小的数据。
当imax从第一个负数开始时，Lambda全变量承接，那么，Lambda此时又是以i结尾的最小数据。
也就是说，这可以定义成imin，代表以i结尾的、最小的子序列数据。
第六步，总结
我们要维护2个变量，imax、imin。
这两个变量，恰好分别代表着
imax：以i结尾的最大乘积子序列。
imin：以i结尾的最小乘积子序列。
四、代码结构展示【有数组】
class Solution {public int maxProduct(int[] nums) {// 答案int max = Integer.MIN_VALUE;// 方便操作int len = nums.length;// 临时变量int temp;// 核心变量imax、imin【二者必须同步变化，否则会产生错误】int[] imax = new int[len];int[] imin = new int[len];// 理论上2个变量足够，但是方便测试，用数组// 初始化【我不确定能否在循环里初始化】imax[0] = nums[0];imin[0] = nums[0];max = nums[0];// 由于imax、imin定义为以i结尾的数据，所以理论上只需要遍历1次for(int i=1; i<len; i++){// 于正数if(nums[i] > 0){// 当大于0时，不会增加负根的数量，不会引起偶数、奇数的变化。// 本身imin以>0和反之进行判断，但是恰好可以合并成1个式子imin[i] = Math.min(imin[i-1]*nums[i], nums[i]);// 同理imax[i] = Math.max(imax[i-1]*nums[i], nums[i]);}else if(nums[i] == 0){// 于0时，重新初始化imax[i] = 0;imin[i] = 0;}else{// 会引起偶数、奇数变化imin[i] = Math.min(imax[i-1]*nums[i], nums[i]);imax[i] = Math.max(imin[i-1]*nums[i], nums[i]);}max = Math.max(max, imax[i]);}return max;}
}
五、代码结构展示【经优化，省略数组】
class Solution {public int maxProduct(int[] nums) {// 答案集int max = Integer.MIN_VALUE;// 方便操作int len = nums.length;// 核心变量imax、imin及初始化【二者必须同步变化，否则会产生错误】int imax = nums[0];int imin = nums[0];max = nums[0];// 临时变量，避免imin或imax改变后，影响数据int temp = 0;// 由于imax、imin定义为以i结尾的数据，所以理论上只需要遍历1次for(int i=1; i<len; i++){// 于正数if(nums[i] > 0){// 当大于0时，不会增加负根的数量，不会引起偶数、奇数的变化。// 本身imin以>0和反之进行判断，但是恰好可以合并成1个式子imin = Math.min(imin*nums[i], nums[i]);// 同理imax = Math.max(imax*nums[i], nums[i]);}else if(nums[i] == 0){// 于0时，重新初始化imax = 0;imin = 0;// 这一步，会引起后续正数时，imin的变化嘛？// 或者，后续负数时，imax的变化？// 经过运算，发现不会发生变化，因为变量的变化恰好满足imax、imin的概念定义}else{// 会引起偶数、奇数变化temp = imin;imin = Math.min(imax*nums[i], nums[i]);imax = Math.max(temp*nums[i], nums[i]);}max = Math.max(max, imax);}return max;}
}
六、结语
在力扣题解里，有imin、imax的概念，但我不知其所以然。
在深入地理解时，我愈发发现，imax是原生定义，是做题必然存在的定义，
然而，imin可不是，imin完全属于辅助工具，理论上从0到1就不太可能把它给定义出来。
后来，我发现imin、imax的复杂关系，我试图捋清楚。
我很快弄清楚了，可是imin是如何定义出来的？我还是不理解。
接着，我发现，imax和imin，恰好在奇数负数个数、偶数负数个数互补。
所以，我正好可以写出来。
当然，也有可能完全是我多想了。
以上内容即我想分享的关于力扣热题30的一些知识。
我是蚊子码农，如有补充，欢迎在评论区留言。个人也是初学者，知识体系可能没有那么完善，希望各位多多指正，谢谢大家。
这篇关于算法题解记录30+++乘积最大子序列（百题筑基）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
