数学排列组合

2024-08-25 01:44
文章标签 数学 排列组合

本文主要是介绍数学排列组合,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

        我突然想发一篇文章(别问我为什么[doge])

        排列组合大家都听过吧,今天的主角就是排列组合。

        废话不多说,直接开始

        先来看几道题目:

        T_1:由1,2,3,4组成不同的三位数有几种?

        T_2:有四个人,每两个人都要握手一次,要握几次手?

                排列组合公式部分

                排列部分

        第一道是排列问题,其实是想让你求1234四个数中选三个进行排列,有几种排列?

                题目解答

        我们先来思考一下第一个数字选什么,有几种可能?显然,第一位有4种可能,因为四个数字都没有被选过且都可以选择。

        第二位有\left ( 4-1 \right )种可能,因为第一位选了一个数字,所以只有3种可能。

        第三位有\left ( \left ( 4-1 \right )-1 \right )种可能,第一和第二位选了两个数字之后只剩下了2个数字。

        总共有\left ( 4*3*2 \right )种可能。

        至此,整道题目就做完了。

                推出排列公式

        我们不妨推想一下:排列又没有公式呢?如果有,那是什么呢?

        如果是从n个选项里选择m个进行排列,一般情况下第一位有n种可能性,第二位有m种可能性,直到第m位有\left ( n-m+1 \right )种可能性。总共有n\left ( n -1\right )\left ( n -2\right )...(n-m+1)种可能性

我们把这个公式进行化简,先把它写成\frac{n\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )...\left ( n-m+1 \right )\left ( n-m \right )\left ( n-m-1 \right )\left ( n-m- 2\right )...*1}{\left ( n-m \right )\left ( n-m-1 \right )...*1}的形式,

可以发现,分子是n的阶乘,分母是\left ( n-m \right )的阶乘,所以这个式子可以变为  {A_{n}}^{m} = \frac{n!}{\left ( n-m \right )!}

其中,{A_{n}}^{m}代表的是从n个数字中选择n个进行排列的总数。

所以第一道题的答案就出来了:

     Q_{1}:   {A_{4}}^{3} = \frac{4!}{\left ( 4-3 \right )!} = \frac{24}{1} = 24

        组合部分

        第二道是组合问题,其实是想让你求四个人中选两个进行组合,有几种组合?

        题目解答&推出公式

 我们来想一下,排列和组合的区别是什么?其实排列注重顺序,而组合不管顺序。

观察可以发现排列数是组合数的两倍

为什么呢?

实际上,如果有n个数,抽出m个进行组合,组合数   *   m个数的排列方案数 = 排列数

比如4个数抽3个,则{A_{4}}^{3} = {C_{4}}^{3} *{A_{3}}^{3}

其中{C_{4}}^{3}代表的是从n个数字中选择n个进行组合的总数。

原理:排列有多种方案,其中的一些方案是重复的,而组合中这些方案就变成一种方案了

那如何知道重叠的数量呢?推算呗!

呜呜呜,手都要废了

推算可得出,在n个数选m个数中,组合数*m!=排列数

再联系排列的公式{A_{n}}^{m} = \frac{n!}{\left ( n-m \right )!}可以算出{C_{n}}^{m} = \frac{​{A_{n}}^{m}}{m!} = \frac{\frac{n!}{\left ( n-m \right )!}}{m!} =\frac{n!}{n!\left ( n-m \right )!}

最终的公式为{C_{n}}^{m} = \frac{n!}{m!\left ( n-m \right )!}

        排列组合技巧部分

技巧一:整体捆绑法

        我们来思考这样一道题:n名同学站成一排,m名同学要站在一起,有几种排列?   

        这就要用到整体捆绑法了。m名同学要站在一起,则可以将其变成一个人,有{A_{\left ( n-m+1 \right )}}^{\left ( n-m+1 \right )}种排列。但是,这m名同学的顺序也是会变的,所以要乘上{A_{m}}^{m}

公式就是{A_{\left ( n-m+1 \right )}}^{\left ( n-m+1 \right )}*{A_{m}}^{m}

技巧二:选空插入法

        还是来思考一道题:n名同学站在一起,其中m名同学不站在一起,有几种排列?

        面对与上一题截然不同的题目要如何解决呢?这就要用到选空插入法了。

        我们将其他的人先排序,就是{A_{\left( n-m\right )}}^{\left(n-m\right)},而其余的人呢?这就要用一种巧妙的思路了,

如下,设有七个人,其中两个人不站在一起,则将其余五个人的排列一下,再将那两个人插入空隙中,有\left ( 5+1 \right )个空位,所以那两个人的所有排列就是{A_{\left ( 5+1 \right )}}^{\left(2 \right )},推导成通用公式是{A_{\left ( n-m \right )}}^{\left ( n-m \right )}*{A_{\left(n-m+1\right)}}^{m}

      技巧三:总体排除法

        一道题:n名同学中选m人,其中k人中至少有一人被选上,有几种组合?

        这道题的方法讲的通俗一点就是排除法,先算出一共的方案数{C_{n}}^{m}

        再减去没有含有这k人的组合数{C_{\left ( n-k \right )}}^{m}

        公式就是{C_{n}}^{m}-{C_{\left ( n-k \right )}}^{m}

        技巧四:优先考虑法

        题目:n名队员中有m名主力队员,派k名队员参加比赛,有几种较好的排列(默认m<k)

        由于是要较好的排列,所以先算m名主力的排列{A_{m}}^{m},再算剩下的人的排列数{A_{\left ( n-k \right )}}^{\left ( m-k \right )}

        最后相乘得出公式为{A_{m}}^{m}*{A_{\left ( n-k \right )}}^{\left ( m-k \right )}

        技巧五:分类讨论法

        由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有几种排列?

        这题用排除法也可以做,这里为了展示分类讨论的方法,就用分类讨论了。已知要个位小于十位,所以个位只有01234五种选择

        再给它分类讨论:个位是0有{A_{5}}^{5}种排列;个位是1有4*{A_{4}}^{3}种排列;个位是2有3*{A_{4}}^{3}种排列;个位是3有2*{A_{4}}^{3}种排列;个位是4有{A_{4}}^{3}种排列。

        合起来就是有\left(1+2+3+4+5\right)*\frac{4!}{1}种排列

        答案是360种。

        技巧六:先选后排法

        有n种菜选m种,种在m块土地上,有几种排列?

        这道题比较简单,先算n中选m的组合数,再进行排列。

        直接给答案:{C_{n}}^{m}*{A_{m}}^{m}

        技巧七:挡板分隔法

        这个技巧比较难,先看题目:把n本书发给1.2.3~~~n号阅览室,每个阅览室分得的书不得小于其编号,有几种分配方法?

        一般先看会感到很懵逼,但是看一下这张图片就明白了:

        

先设有13本书。向每个阅览室放入编号-1本书,之后还剩7本书,然后就可以用挡板分隔法了:

可以看到剩下的7本书中间有6个地方可以插入隔板,而隔板有3个便可以把这些书分为4部分,所以排列数有{A_{6}}^{3},尝试推广到原先的题目:设s = \frac{n^{2}-n}{2},则有{C_{(n-s-1)}}^{(n-1)}种排列。

其他:

在下面

彩蛋!!!

排列组合练习题及答案 - 百度文库 (baidu.com)

这篇关于数学排列组合的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1104199

相关文章

uva 10014 Simple calculations(数学推导)

直接按照题意来推导最后的结果就行了。 开始的时候只做到了第一个推导,第二次没有继续下去。 代码: #include<stdio.h>int main(){int T, n, i;double a, aa, sum, temp, ans;scanf("%d", &T);while(T--){scanf("%d", &n);scanf("%lf", &first);scanf

uva 10025 The ? 1 ? 2 ? ... ? n = k problem(数学)

题意是    ?  1  ?  2  ?  ...  ?  n = k 式子中给k,? 处可以填 + 也可以填 - ,问最小满足条件的n。 e.g k = 12  - 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 - 7 = 12 with n = 7。 先给证明,令 S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + n 暴搜n,搜出当 S(n) >=

uva 11044 Searching for Nessy(小学数学)

题意是给出一个n*m的格子,求出里面有多少个不重合的九宫格。 (rows / 3) * (columns / 3) K.o 代码: #include <stdio.h>int main(){int ncase;scanf("%d", &ncase);while (ncase--){int rows, columns;scanf("%d%d", &rows, &col

【生成模型系列(初级)】嵌入(Embedding)方程——自然语言处理的数学灵魂【通俗理解】

【通俗理解】嵌入(Embedding)方程——自然语言处理的数学灵魂 关键词提炼 #嵌入方程 #自然语言处理 #词向量 #机器学习 #神经网络 #向量空间模型 #Siri #Google翻译 #AlexNet 第一节:嵌入方程的类比与核心概念【尽可能通俗】 嵌入方程可以被看作是自然语言处理中的“翻译机”,它将文本中的单词或短语转换成计算机能够理解的数学形式,即向量。 正如翻译机将一种语言

数学建模笔记—— 非线性规划

数学建模笔记—— 非线性规划 非线性规划1. 模型原理1.1 非线性规划的标准型1.2 非线性规划求解的Matlab函数 2. 典型例题3. matlab代码求解3.1 例1 一个简单示例3.2 例2 选址问题1. 第一问 线性规划2. 第二问 非线性规划 非线性规划 非线性规划是一种求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。运筹学的一个重要分支。2

CSP-J基础之数学基础 初等数论 一篇搞懂(一)

文章目录 前言声明初等数论是什么初等数论历史1. **古代时期**2. **中世纪时期**3. **文艺复兴与近代**4. **现代时期** 整数的整除性约数什么样的整数除什么样的整数才能得到整数?条件:举例说明:一般化: 判断两个数能否被整除 因数与倍数质数与复合数使用开根号法判定质数哥德巴赫猜想最大公因数与辗转相除法计算最大公因数的常用方法:举几个例子:例子 1: 计算 12 和 18

2024年AMC10美国数学竞赛倒计时两个月:吃透1250道真题和知识点(持续)

根据通知,2024年AMC10美国数学竞赛的报名还有两周,正式比赛还有两个月就要开始了。计划参赛的孩子们要记好时间,认真备考,最后冲刺再提高成绩。 那么如何备考2024年AMC10美国数学竞赛呢?做真题,吃透真题和背后的知识点是备考AMC8、AMC10有效的方法之一。通过做真题,可以帮助孩子找到真实竞赛的感觉,而且更加贴近比赛的内容,可以通过真题查漏补缺,更有针对性的补齐知识的短板。

一些数学经验总结——关于将原一元二次函数增加一些限制条件后最优结果的对比(主要针对公平关切相关的建模)

1.没有分段的情况 原函数为一元二次凹函数(开口向下),如下: 因为要使得其存在正解,必须满足,那么。 上述函数的最优结果为:,。 对应的mathematica代码如下: Clear["Global`*"]f0[x_, a_, b_, c_, d_] := (a*x - b)*(d - c*x);(*(b c+a d)/(2 a c)*)Maximize[{f0[x, a, b,

2024年高教社杯数学建模国赛最后一步——结果检验-事关最终奖项

2024年国赛已经来到了最后一天,有必要去给大家讲解一下,我们不需要过多的去关注模型的结果,因为模型的结果的分值设定项最多不到20分。但是如果大家真的非常关注的话,那有必要给大家讲解一下论文结果相关的问题。很多的论文,上至国赛优秀论文下至不获奖的论文并不是所有的论文都可以进行完整的复现求解,大部分数模论文都为存在一个灰色地带。         白色地带即认为所有的代码均可运行、公开

CSP-J基础之数学基础 初等数论 一篇搞懂(二)

文章目录 前言算术基本定理简介什么是质数?举个简单例子:重要的结论:算术基本定理公式解释:举例: 算术基本定理的求法如何找出质因数:举个简单的例子: 重要的步骤:C++实现 同余举个例子:同余的性质简介1. 同余的自反性2. 同余的对称性3. 同余的传递性4. 同余的加法性质5. 同余的乘法性质 推论 总结 前言 在计算机科学和数学中,初等数论是一个重要的基础领域,涉及到整数