Richardson-Lucy 非盲去模糊算法

本文主要是介绍Richardson-Lucy 非盲去模糊算法，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

相关论文：2011-PAMI - Richardson-Lucy Deblurring for Scenes under a Projective Motion Path

空间均匀的运动模糊表示如下：
$B=k\otimes I$
B为模糊图像，I为清晰图像，k为模糊核。

RL算法假设 $P (B ∣ k, I)$ 满足Poisson分布（传送门：如何通俗理解泊松分布）:

$P(X=x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}$
其中均值 $\lambda=k\otimes I$ ，即：
$P(B|k,I)=\frac{(k\otimes I)^B}{B!}e^{-(k\otimes I)}$

目标是最大化概率 $P (B ∣ k, I)$ ，通过 $-\log$ 转化成下面的能量最小化问题：
$\begin{aligned} J=E(I;B,k)=&-\log\left( \frac{(k\otimes I)^B}{B!}e^{-(k\otimes I)}\right) \\ =&-\log\left( \frac{(k\otimes I)^B}{B!}\right)-\log e^{-(k\otimes I)} \\ =&-B\log(k\otimes I)+k\otimes I+\log B! \\ \propto& -B\log(k\otimes I)+k\otimes I \end{aligned}$
因为 $J$ 是一个凸函数，最小值即 $\nabla J=0$ ：
$\frac{\partial J}{\partial I}\propto -\frac{B}{k\otimes I}\otimes\tilde k+1\otimes\tilde k=0$
其中 $\tilde k$ 为 $k$ 水平翻转180°, 因为 $\sum_i k_i=1$ ，所以 $1\otimes\tilde k=1$ ，得：
$1=\frac{B}{k\otimes I}\otimes\tilde k$
由于损失函数 $J$ 是凸函数，每次迭代后损失都会减小，当收敛时，恢复出的图像基本不会改变了——意味着在收敛时 $I_{t+1}$ 实际上应该等于 $I_t$ ，即：
$\frac{I_{t+1}}{I_t}=1=\frac{B}{k\otimes I}\otimes\tilde k$
$I_{t+1}=I_t\odot\tilde k\otimes\frac{B}{k\otimes I}=I_t\odot\frac{\tilde k\otimes B}{\tilde k\otimes k\otimes I}$
其中 $\odot$ 为对应元素相乘，分数线也是对应元素相除。类似梯度下降法，不过这里是乘法更新， $I_0$ 可以初始化成随机值（或者中灰色图像，或者模糊图像），迭代直到 ${I_t}$ 不在变化。
参考：https://www.strollswithmydog.com/richardson-lucy-algorithm/