CodeForces 547C. Mike and Foam 莫比乌斯反演

2024-08-21 08:08

本文主要是介绍CodeForces 547C. Mike and Foam 莫比乌斯反演,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

题意:给定一个长度为n的数列a,和q个操作(1<= n,q <= 2*10^5, 1 <= a[i] <= 5*10^5 )

需要维护一个多重集合Q.

每个操作给出一个下标i,如果a[i]属于Q那么把a[i]从Q中拿走,如果a[i]不属于Q,那么把a[i]加入Q中。

每次操作后询问Q中,有多少对i,j满足条件 i<j 且 gcd(a[i],a[j])=1

这个性质的维护比较困难,直接做是O(n*q)

答案是利用莫比乌斯反演定理来做:

d[k]表示集合Q中,有多少个元素是k的倍数

本题中d <= 5*10^5,因为当d>5*10^5时,所有的F(d)都一定为0

现在直接来看最后K的公式,增减元素之后,只要调整所有影响的F值,就可以得到新的K值。

然后关于莫比乌斯函数u(x),当x含有任何质数因子的平方或更高次方的时候u(d)=0,所以这时的F的变化不用考虑。

2*3*5*7*11*13*17=510510>5*10^5,所以本题中,任何的a[i]最多含有6个不同的质因子。

那么a[i]的因子d 中,使u(d) != 0 的最多只有2^6 =64个

于是如果要加入或删除某个a[i] ,只需找到a[i]影响的最多64个d[i],根据d[i]来调整K值就行了。

总复杂度O(q  *  64)

在代码中,没有记录F[i],只记录了d[i],然后根据d[i]的变化来调整K.



代码如下:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define maxn 200007
#define maxv 500007 
using namespace std;
int maxprime[maxv];/* maxprime[i]是i的质因数中最大的一个 */
int u[maxv];/* 莫比乌斯函数 */
bool On[maxn];/* 记录a[i]是否在集合内 */
int d[maxv];/* 记录d[k]表示集合内有多少个值是k的倍数 */
int a[maxn];
int n,q;
long long K;
void Init(){/* 初始化maxprime和u数组 */memset(maxprime,-1,sizeof(maxprime));for(int i=1;i<maxv;++i) u[i]=1;for(int i=2;i<maxv;++i){if(~maxprime[i]) continue;for(int j=1,v=i;v<maxv;++j,v+=i){maxprime[v]=i;u[v]=j%i==0?0:-u[v];}}
}
bool Add(int x){/* 加入x */ int fac[6],facn=0;while(x>1){/* 质因数分解 */int p=maxprime[x];fac[facn++]=p;do x/=p;while(x%p==0);}int MAX=1<<facn;for(int i=0;i<MAX;++i){/* 调整所有的d值以及K值 */int t=i,v=1;for(int j=0;j<facn;++j,t>>=1){if(t&1) v*=fac[j]; }K+=d[v]*u[v];++d[v];}return true;
}
bool Remove(int x){/* 删除x */ int fac[6],facn=0;while(x>1){/* 质因数分解 */int p=maxprime[x];fac[facn++]=p;do x/=p;while(x%p==0);}int MAX=1<<facn;for(int i=0;i<MAX;++i){/* 调整所有的d值以及K值 */int t=i,v=1;for(int j=0;j<facn;++j,t>>=1){if(t&1) v*=fac[j]; }--d[v];K-=d[v]*u[v];}return true;
}
int main(void)
{Init();freopen("547C.txt","r",stdin); while(~scanf("%d%d",&n,&q)){memset(On,0,sizeof(On));//On数组,表示a[i]是否在集合中 memset(d,0,sizeof(d));//d[k]表示集合中有多少个是k的倍数 K=0;for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);for(int i=0;i<q;++i){int x;scanf("%d",&x);On[x]=On[x]?Remove(a[x]),false:Add(a[x]),true;printf("%I64d\n",K); }}
return 0;
}



这篇关于CodeForces 547C. Mike and Foam 莫比乌斯反演的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1092595

相关文章

Codeforces Round #240 (Div. 2) E分治算法探究1

Codeforces Round #240 (Div. 2) E  http://codeforces.com/contest/415/problem/E 2^n个数,每次操作将其分成2^q份,对于每一份内部的数进行翻转(逆序),每次操作完后输出操作后新序列的逆序对数。 图一:  划分子问题。 图二: 分而治之,=>  合并 。 图三: 回溯:

Codeforces Round #261 (Div. 2)小记

A  XX注意最后输出满足条件,我也不知道为什么写的这么长。 #define X first#define Y secondvector<pair<int , int> > a ;int can(pair<int , int> c){return -1000 <= c.X && c.X <= 1000&& -1000 <= c.Y && c.Y <= 1000 ;}int m

Codeforces Beta Round #47 C凸包 (最终写法)

题意慢慢看。 typedef long long LL ;int cmp(double x){if(fabs(x) < 1e-8) return 0 ;return x > 0 ? 1 : -1 ;}struct point{double x , y ;point(){}point(double _x , double _y):x(_x) , y(_y){}point op

Codeforces Round #113 (Div. 2) B 判断多边形是否在凸包内

题目点击打开链接 凸多边形A, 多边形B, 判断B是否严格在A内。  注意AB有重点 。  将A,B上的点合在一起求凸包,如果凸包上的点是B的某个点,则B肯定不在A内。 或者说B上的某点在凸包的边上则也说明B不严格在A里面。 这个处理有个巧妙的方法,只需在求凸包的时候, <=  改成< 也就是说凸包一条边上的所有点都重复点都记录在凸包里面了。 另外不能去重点。 int

Codeforces 482B 线段树

求是否存在这样的n个数; m次操作,每次操作就是三个数 l ,r,val          a[l] & a[l+1] &......&a[r] = val 就是区间l---r上的与的值为val 。 也就是意味着区间[L , R] 每个数要执行 | val 操作  最后判断  a[l] & a[l+1] &......&a[r] 是否= val import ja

hdu6053 TrickGCD 莫比乌斯反演

TrickGCD Time Limit: 5000/2500 MS (Java/Others)    Memory Limit: 262144/262144 K (Java/Others) Problem Description You are given an array  A  , and Zhu wants to know there are how many d

Codeforces Round 971 (Div. 4) (A~G1)

A、B题太简单,不做解释 C 对于 x y 两个方向,每一个方向至少需要 x / k 向上取整的步数,取最大值。 由于 x 方向先移动,假如 x 方向需要的步数多于 y 方向的步数,那么最后 y 方向的那一步就不需要了,答案减 1 代码 #include <iostream>#include <algorithm>#include <vector>#include <string>

Codeforces#295(Div.2)A、B(模拟+BFS)

解题报告链接:点击打开链接 C. 题目链接:点击打开链接 解题思路: 对于给定的字符串,取出现次数最多的字母(可以同时有多个)。由这些字母组成长度为n的字符串,求有多少种组合。最后用数学知识即可。 完整代码: #include <algorithm>#include <iostream>#include <cstring>#include <climits>

Codeforces Round #281 (Div. 2)A(构造+暴力模拟)

题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/493/A 解题思路: 暴力的判断,分三种情况去判断即可。注意如果之前已经被罚下场后,那么在后面的罚下情况不应该算在输出结果内。 完整代码: #include <algorithm>#include <iostream>#include <cstring>#include <co

Codeforces Round #182 (Div. 2)A(水题)

题目链接:http://codeforces.com/contest/302/problem/A 解题思路: 只要通过重新排列使区间内和为0即是1,否则是0. 完整代码: #include <algorithm>#include <iostream>#include <cstring>#include <complex>#include <cstdio>#inc