[SCU 4519] 来签个到吧 （GCD + 期望）

本文主要是介绍[SCU 4519] 来签个到吧 （GCD + 期望），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

SCU - 4519

盒子里有若干个球，每个球上面都有一个数字，数字各不相同
每次从中选两个数字 x，y，设 z=$| x - y |$
若 z不在盒子中，则加入这个数
反复执行操作，直到无法再向盒子里加数
随机从盒子中摸出一个球，反复执行这个操作直到所有球都被摸出来过
问最后的期望步数

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第一部分的构造：
设所有数的最大公因数是D
则所有数可以表示为 $x=k*D$
所以所有的 $|y-x|=k'*D$，必然是 D的倍数
实际上这个相减的过程是更相减损法的再现
所以保证一定能构造出最大公因数 D
构造出 D后，用最大的数不断减去 D，
就能构造出小于最大数的所有 D的倍数

第二部分的期望：
设 $dp[i]$为摸到 i个求的期望步数
$dp[i] = \frac {N-(i-1)} {N * dp[i-1]} + \frac {(i-1)} {N * dp[i] + 1}$
移项整理后可得$dp[i] = dp[i-1] + \frac N {N-(i-1)}$

最后的期望步数要加上第一部分构造时所用的步数

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int,int> Pii;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef double DBL;
typedef long double LDBL;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define Sqr(a) (a*a)
int GCD(int a,int b){return b?GCD(b,a%b):a;};const int maxn=1e5+10;
int N;
int inpt[maxn];
DBL dp[maxn];int main()
{#ifdef LOCALfreopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt", "w", stdout);#endifint T;scanf("%d", &T);for(int ck=1; ck<=T; ck++){scanf("%d", &N);CLR(dp);for(int i=0; i<N; i++) scanf("%d", &inpt[i]);sort(inpt,inpt+N);int gcd=inpt[0];for(int i=1; i<N; i++) gcd=GCD(gcd,inpt[i]);int tot=inpt[N-1]/gcd;if(!inpt[0]) tot++;dp[1]=1;for(int i=2; i<=tot; i++){DBL down=tot-i+1,up=tot;dp[i]=dp[i-1]+up/down;}cout << (int)floor(dp[tot])+tot-N << '\n';
//      printf("%d\n", floor(dp[tot])+tot-N);}return 0;
}

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