计算阶乘n!末尾0的个数

2024-06-16 19:32
文章标签 计算 个数 阶乘 末尾

本文主要是介绍计算阶乘n!末尾0的个数,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

一、问题描述

给定一个正整数n,请计算n的阶乘n!末尾所含有“0”的个数。例如:
5!=120,其末尾所含有的“0”的个数为1;
10!= 3628800,其末尾所含有的“0”的个数为2;
20!= 2432902008176640000,其末尾所含有的“0”的个数为4。

二、算法分析

此类问题很显然属于数学问题,一定要找到其中的本质规律才能得到正确的数学模型。

  两个大数字相乘,都可以拆分成多个质数相乘,而质数相乘结果尾数为0的,只可能是2*5。如果想到了这一点,那么就可以进一步想到:两个数相乘尾数0的个数其实就是依赖于2和5因子的个数。又因为每两个连续数字就会有一个因子2,个数非常充足,所以此时只需要关心5因子的个数就行了。

  对于一个正整数n来说,怎么计算n!中5因子的个数呢?我们可以把5的倍数都挑出来,即:

  令n! = (5*K) * (5*(K-1)) * (5*(K-2)) * … * 5 * A,其中A就是不含5因子的数相乘结果,n = 5*K + r(0<= r <= 4)。假设f(n!)是计算阶乘n!尾数0的个数,而g(n!)是计算n!中5因子的个数,那么就会有如下公式:

f(n!)=g(n!)=g(5KK!A)=K+g(K!)=K+f(K!) f ( n ! ) = g ( n ! ) = g ( 5 K ∗ K ! ∗ A ) = K + g ( K ! ) = K + f ( K ! ) ,其中 K=n/5 K = n / 5 (取整数)。

  很显然,当0 <= n <= 4时,f(n!)=0。结合这两个公式,就搞定了这个问题了。举几个例子来说:

f(5!) = 1 + f(1!) = 1
f(10!) = 2 + f(2!) = 2
f(20!) = 4 + f(4!) = 4
f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249

三、代码实现

  使用递归函数来做,非常的简单,直接套用公式即可:

#include <iostream>
using namespace std;int GetN_1(int n)
{if (n < 5){return 0;}else{return (n / 5 + GetN_1(n / 5));}
}int main()
{cout << GetN_1(1000) << endl;  // 输出249system("pause");return 0;
}

非递归方式,很快(虽然递归也不是慢,因为递归的次数太少了)

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {int n, ans = 0;cin >> n;while (n) {ans += n/=5;}cout << ans << endl;return 0;
}

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http://www.chinasem.cn/article/1067339

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