The Gray World Assumption

着上篇往下讲，与White Patch Retinex相同，Gray-World 也是恢复图像原色的算法，两种算法最核心的不同在于对光源强度的估计。
Gray World 算法基于一个假设The Gray World Assumption：on average, the world is gray.也就是说自然图像的像素颜色平均值为常值1/2（在颜色范围归一化在[0,1]的情况下）。
下面讲述该算法的具体数学推导过程。

算法:

（1）基本算法

下式是图像成像的数学表达，具体的含义在上篇文章Color Constancy 色彩恒常性（1）White Patch Retinex中有讲到，这里就不再重复。

依然假设像素的色彩和像素的亮度值成比例。

按照Gray World假设，对取平均，则有

且 

式中E(R) = 1/2即是由Gray World假设得出，带入后得到：

依然假设E(G)=1，那么光源的强度可以估计为：

　　　（１）

最终经过色彩恢复后的图像为：

（２）

（2）改进算法

上述的原始算法具有很大的局限性。若图像的颜色比较单一，那么就不再满足gray world假设。为解决这个问题，提出了一些改进的算法，其中的一种主要思路是，先对图像进行分割，然后求分割后每块图像的颜色均值，进而求出总的颜色均值。用数学可以表示为下式：

式中，nr为分割后区域的个数，a(Rj)为第j个区域的平均像素值。通过这种方法求得最终的ai带入式（1）中。

在这种思想下，提出了一种具体的算法，该算法求三个通道的直方图，然后将其量化为10类，那么最终可以将256*256*256中颜色量化为10*10*10=1000种颜色，书中将这1000种类描述为1000 buckets。（直观的理解就是把整幅图像画一个直方图，该直方图有1000个柱，也就是1000个bucket）。

最终的求ai的式子为：

式中，nnz为直方图中像素点个数非0的bucket的个数，nb为bucket的总个数（按照书中的意思，nb =1000，我的理解是nb = nnz），ci(j)为第j个bucket中像素的值。

同样的，将求得的ai带入式（1）中，然后带入式（２）求得恢复后的输出。

MATLAB代码：

代码（其中，para=0是原始的方法，para=1是改进后的方法）：

（１）原始算法结果

（２）改进算法结果

对比实验（1）和（2）的结果，发现改进后的算法明显比原始的算法效果好。且改进后的算法使用范围更广。