【刷题】初探递归算法 —— 消除恐惧

2024-06-02 21:44

本文主要是介绍【刷题】初探递归算法 —— 消除恐惧,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

在这里插入图片描述

送给大家一句话:
有两种东西,
我对它们的思考越是深沉和持久,
它们在我心灵中唤起的惊奇和敬畏就会日新月异,
不断增长,
这就是我头上的星空和心中的道德定律。
-- 康德 《实践理性批判》

初探递归算法

  • 1 递归算法
  • 2 Leetcode 面试题 08.06. 汉诺塔问题
    • 题目描述
    • 算法思路
  • 3 Leetcode 21. 合并两个有序链表
    • 题目描述
    • 算法思路
  • 4 Leetcode 206. 反转链表
    • 题目描述
    • 算法思路
  • 5 Leetcode 24. 两两交换链表中的节点
    • 题目描述:
    • 算法思路
  • 6 Leetcode 50. Pow(x, n)
    • 题目描述
    • 算法思路
  • 7 总结
  • Thanks♪(・ω・)ノ谢谢阅读!!!
  • 下一篇文章见!!!

1 递归算法

在解决一个规模为 n 的问题时,如果满足以下条件,我们可以使用递归来解决:

  1. 问题可以被划分为规模更小的子问题,并且这些子问题具有与原问题相同的解决方法。
  2. 当我们知道规模更小的子问题(规模为 n-1)的解时,我们可以直接计算出规模为 n 的问题的解。
  3. 存在一种简单情况,或者说当问题的规模足够小时,我们可以直接求解问题。这里一般成为函数出口(非常重要)

一般的递归求解过程如下:

  1. 验证是否满足简单情况
    简单情况是指问题规模非常小,通常可以直接得到答案的情况。我们需要首先检查当前问题是否满足这种情况。

  2. 假设较小规模的问题已经解决,解决当前问题
    在递归中,我们假设已经解决了规模较小的子问题,然后基于这些子问题的解来构建当前问题的解。这种假设称为“递归假设”。

总结来说,递归代码的编写如同使用一个“黑盒”一样,我们需要相信递归调用会正确解决子问题,而我们只需要关注处理当前的问题。

下面我们通过一个具体实例来展示如何在实践中解决问题:

假设我们要计算斐波那契数列中的第 n 项。斐波那契数列的定义如下:
F ( 0 ) = 0 \text{F}(0) = 0 F(0)=0
F ( 1 ) = 1 \text{F}(1) = 1 F(1)=1
对于 n ≥ 2 n \geq 2 n2 F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) \text{F}(n) = \text{F}(n-1) + \text{F}(n-2) F(n)=F(n1)+F(n2)

在这个问题中:
简单情况是 F ( 0 ) \text{F}(0) F(0) F ( 1 ) \text{F}(1) F(1),我们可以直接得到答案。
对于其他情况,我们假设 F ( n − 1 ) \text{F}(n-1) F(n1) F ( n − 2 ) \text{F}(n-2) F(n2) 已经计算出来,然后通过 F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) \text{F}(n) = \text{F}(n-1) + \text{F}(n-2) F(n)=F(n1)+F(n2) 计算出 F ( n ) \text{F}(n) F(n)

这种递归解决问题的方法非常强大,但也需要注意避免过度递归带来的性能问题,比如栈溢出或时间复杂度过高等。

接下来我们一起来解决问题吧!!!

2 Leetcode 面试题 08.06. 汉诺塔问题

上连接: 面试题 08.06. 汉诺塔问题

题目描述

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汉诺塔是个非常有意思的问题,其典故更是神乎其神:

法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说:在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面。僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

题目给我们了xyz三个容器模拟柱子,我们需要模拟实现移动的过程,将X容器中的盘子移动到Z中。

算法思路

乍一看我们想不到什么思路,所以我们先来画图分析一波:
在这里插入图片描述

通过这三种情况我们就能分析出来,这道题可以被拆分成许多子问题来解决:

如果想要移动n个盘子

  1. 先把 n - 1 个盘子移到中转柱子上,再把第n个移到目标柱子上。
  2. 接下来处理 这n - 1 个盘子,把 n - 2 个小盘子移到中转柱子上,第 n - 1个移动到目标柱子上。
  3. 重复 1 2 直到解决问题…

注意

    // x 为当前柱子 y 为中转柱子 z 为目标柱子 //我们只需要注意解决当前的问题,子问题交给黑盒处理void dfs(vector<int>& x, vector<int>& y, vector<int>& z , int n ){   //递归出口if(n == 1){int tmp = x.back();z.push_back(tmp);x.pop_back();return ;}//将 n 个盘子从 X 转移到 Z //则先把 n-1个盘子移到 Ydfs(x , z , y , n - 1);//然后此时X只有一个最大的盘子, 移到Zint tmp = x.back();z.push_back(tmp);x.pop_back();//现在 Y 上有 n-1 个盘子继续进行移动到Z上dfs(y , x , z , n - 1);return ;}void hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) {int n = A.size();dfs(A , B , C , n);return ;}

提交:过啦!!!

3 Leetcode 21. 合并两个有序链表

上连接!家人们:21. 合并两个有序链表

题目描述

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很好理解的题目!

算法思路

相信大家看到这个题,肯定有迭代循环思路,但是今天我们通过递归来解决问题:
在这里插入图片描述

我们首先分析一下:

  • 当前问题:当我们处理当前情况时,我们需要把后续处理交给黑盒,我们需要的是将较小的节点插入到新链表中
  • 子问题:处理除去以被处理的“较小的节点”之外的链表节点,使其合并。
  • 函数出口:当我们处理到两个链表都为空时直接返回,或者一方为空直接返回另一链表即可!
    ListNode* mergeTwoLists(ListNode* l1, ListNode* l2) {//处理为空的情况if(l1 == nullptr) return l2;if(l2 == nullptr) return l1;//都不为空,选择较小值进行插入!!!if(l1->val < l2->val){//l1 小 就把它的next交给黑盒处理l1->next = mergeTwoLists(l1->next , l2);//然后将它返回(这样黑盒才可以获取当前节点的next节点)return l1;}else{//l2 小 就把它的next交给黑盒处理l2->next = mergeTwoLists(l1 , l2->next);return l2;}}

提交:过啦!!!

4 Leetcode 206. 反转链表

上链接: 206. 反转链表 !

题目描述

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同样很好理解,接下来我们来使用递归解决问题

算法思路

首先这道题需要注意的一点是:我们要先找到新链表的头(即当前链表的尾节点)黑盒的返回值设置为新链表的头,然后再来进行反转。就类似二叉树的后序遍历。我们不能从链表的头开始反转到尾(先序遍历)。因为这样就无法获取新链表的头结点了

从宏观来看:我们只需要处当前问题:

  1. 子问题: 后续节点的反转!黑盒会返回我们的头结点。我们的黑盒一定可以帮助我们解决后序的节点的反转。
  2. 当前问题:把当前节点插入到以被反转的链表后,把当前节点的next设置为空即可!
  3. 函数出口:当走到链表结尾即为出口!
ListNode* reverseList(ListNode* head) {//寻找新的头结点if( head == nullptr || head->next == nullptr ) return head;ListNode* newhead = reverseList(head->next);//进行倒置head->next->next = head;//next设置为空head->next = nullptr;//返回新链表的头return newhead;}

提交:过啦!!!

5 Leetcode 24. 两两交换链表中的节点

跟上节奏:24. 两两交换链表中的节点 !!!

题目描述:

在这里插入图片描述
题目也很好理解奥

算法思路

我们依旧是使用递归来解决:

  1. 当前问题:置换两个节点,并指向后续以及置换完成的链表。
  2. 子问题:后序节点的置换
  3. 函数出口:为空或只有一个节点之间返回即可。
    ListNode* swapPairs(ListNode* head) {//利用递归解决问题//一次要处理两个节点if(head == nullptr) return nullptr;if(head->next == nullptr) return head;//继续处理 --- 相信 swapPairs(tmp) 这个会处理好剩余部分ListNode* tmp = swapPairs(head->next->next);//进行处理//记录下 1 2 节点的后面的2节点,它是置换后的头节点。ListNode* ret = head->next;//置换head->next->next = head;head->next = tmp;return ret;}

提交:过啦!!!

6 Leetcode 50. Pow(x, n)

最后一题:50. Pow(x, n) !!!

题目描述

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这道题需要我们使用幂函数,当然不是一般的循环相乘(必然超时),我们要实现快速幂!

算法思路

快速幂的思想很简单:假如我们需要 210 ,我们就求25 ,求 25 就求 22 * 22 * 2 …以此类推直到次数为 0 就返回 1

需要注意的是负数的处理,求负次幂,我们可以先求正的然后在取倒数。
还有边界的处理,题目所给的最小值 - 231 取正后为 231,超出int的范围,所以需要转换为long long

    double myPow(double x, long long n) {if(n == 0) return 1;if( n < 0 ) {long long t = (long long)(-n);double tmp = myPow( x , t / 2);return t % 2 == 0 ? 1 / (tmp * tmp) : 1 / (tmp * tmp * x);}else{double tmp = myPow( x ,  n / 2);return n % 2 == 0 ? tmp * tmp : tmp * tmp * x;}}

提交过啦!!!

7 总结

我们进行递归算法,只需要处理好当前问题,其余相信我们的黑盒可以解决。注意:

  1. 函数出口的设置,这个是关键!!!
  2. 返回值的设置要合适,看题分析!!!

Thanks♪(・ω・)ノ谢谢阅读!!!

下一篇文章见!!!

这篇关于【刷题】初探递归算法 —— 消除恐惧的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1025171

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