【数论】计数问题的几种基本方法

本文主要是介绍【数论】计数问题的几种基本方法，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

一、计数原理

加法原理：n个方法，每个方法有Pi种方案，那么一共方案数为P1 + P2 + P3... + Pn

乘法原理：一件事情有n个步骤，每个步骤需要pi种方案，那么一共有P1 * P2 * P3 * ... * Pn种方案。

容斥原理：集合A,B,C。|A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |AB| - |AC| - |BC| + |ABC|。依次类推。

基本的方法就是加加减减，把当个总数计算出来，在扣掉重复的，在加上扣掉重复的重复......

二、组合问题：

组合数C(n, m)的性质：

C(n, 0) = C(n, n) = 1; C(n, k) = C(n, n - k); (这个高中都学过)

C(n, k) + C(n, k + 1) = C(n + 1, k + 1);

C(n, k + 1) = C(n, k) * (n - k) / (k + 1) 这个性质用来处理C(n,m)过程溢出的情况，如果边乘边除可以在一定范围内防止数字的溢出

1、n个数，选k个出来，无关顺序，一个数最多一次，问方案数

C(n, k)

2、n个数，选k个一排，一个数最多选一次，问有几种方案。

C(n,k)先选出k个，然后k进行全排列 * k!。化简后答案为 n! / (n - k) !

3、(a + b) ^ n各项系数(这个高中也学过)

 sum{a^(n - k) * b ^ k * C(n, k)} (0 <= k <= n)

4、有重复元素的全排列:

n! / (n1! * n2! * n3!....)

5、可重复选择的组合问题，有n个不同元素，每个元素可以重复选，要选出k个，要保证不同，问能选出几种

设第i个元素选xi次，问题转化为求x1 + x2 + x3 + ... xn = k的解的个数，等价于放k个1，然后分成n份的情况数，利用隔板法答案为C(n + k - 1, k)。

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