超星视频讲座笔记（2014-3-19,4-14,4-16,4-17,4-22,4-26）

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有限域上的代数曲线
冯克勤主讲
1930s末，韦伊没有什么事，算一些代数曲线在有限域上有多少点。
韦伊算了两类曲线：  
(1)费马曲线 (x^n)+(y^n)=1
(2)Artin-Schreitr曲线
从美学角度，要加上无穷点。  
结论：对于绝对不可约，非奇异曲线，C/F_q，|N_q-(q+1)|<=2g(C)sqrt(q)。
1941年，Weil Conjecture，现在已经是韦伊定理了。
1948 年，由本人证明
先写了一本书《代数几何基础》证明这个韦伊猜想
高维猜想：1973年Deligne证明
代数几何发展阶段
1g初等代数几何，以意大利学派为高峰
2g交换代数
3g塞尔、格罗腾迪克、德利涅
应用部分
1.编码理论
1970s代数几何码
http://v.qq.com/cover/m/m9vforkigz4q0v5.html?vid=D0010XdAqvm
直线上的算术
x^(p^n)-x=0，
通常做法：
F_p[x]是PID
n次首1不可约多项式f(x)
Ω_q是F_q的代数闭包，Ω_q叫仿射直线，Ω_q∪{∞}叫射影直线。
老阿廷：
K=F_q(x)的指数赋值
K中的一个指数赋值是指如下一个
满射：V:K->Z∪{∞}
满足：a,b∈K，
1.V(0)=∞<=>（当且仅当）a=0，其它元素映射到Z
2.V(ab)=V(a)+V(b)（假定n∈Z，n+∞=∞+n=∞）
3.非阿基米德性：V(a+b)>=min{V(a),V(b)}（假定￥n∈Z，∞>n）
推论：
1.V:K^*->(Z,+)是群的满同态，V(1)=0
有限域上的线性代数的应用 http://video.chaoxing.com/play_400001251_57488.shtml
沈灏教授主讲
两个应用：
1几何上的
2通信编码上的
深入浅出讲解群Group的概念
1个非空集合，
1个二元运算，名字叫乘法
满足若干公理
封闭
结合律
e和1发音相近，叫做单位元
逆元
群的例子：
全体正整数关于数的乘法：满足两条，不满足一条，不是群，是半群
集合扩大或缩小变为群？
全体正有理数的集合，二元运算用数的乘法，是一个群，正有理数a=m/n，a的逆元是n/m。
{1}关于数的乘法构成一个群，单位元群
全体整数关于数的加法构成一个群，抽象定义的乘法在这里是数的加法
全体偶数关于数的加法构成一个群
K^(n*n)上全体可逆矩阵关于矩阵乘法构成一个群。这个群太重要了，叫做数域K上的n阶一般线性群。
转动个角度看成一个元素，两个转动的合成叫乘法，这个群叫运动群或变换群。
Z_7\{0}=Z_7^*有6个元素，关于剩余类的乘法构成一个群。
这个群是交换群，这个群是有限群，阶为6。
乘法表里1不出现，就不构成群。例如Z_6^*
域
非空集合，至少有两个元素
1个加法，1个乘法
9条公理
4条公理一句话：F关于加法是一个交换群。
5-9条公理：F^*（F星）关于乘法是一个交换群。
第9条公理：乘法对加法的分配律。
F_2
0——偶数
1——奇数
两张表
用初等数论的一个结果证明F_p^*关于剩余类乘法构成一个交换群，从而F_p是一个域。
注意：费马小定理的某种证明用到了群论的结果。初等数论结果和群论结果的证明要避免循环论证的错误。
有限域上几维向量空间 http://video.chaoxing.com/play_400001251_57492.shtml
数域上的内容转移到有限域上
F是域
F^(1*n)，n维行向量
定义向量加法、数乘（纯量乘法）两种运算
满足8条公理
构成F上的n维行向量空间
——F_q=F_p^n构成一个代数？
V_n(F_q)向量的个数为q^n个
找出n个极大线性无关向量
组合的方法：
α1取法q^n-1——非0向量即可
α2取法q^n-q——去掉q个与α1线性相关的
α3取法q^n-q^2——去掉q^2个与α1、α2线性相关的
……
结论：|GL(F_q,n)|=？
数域中没有、有限域中特有的计数问题

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