李德乐：低阶群的特征标表

2024-05-13 18:32
文章标签 特征 低阶 标表 李德

本文主要是介绍李德乐：低阶群的特征标表，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

http://www.doc88.com/p-536463154451.html
1-10阶群的不等价不可约的特征标表示http://www.docin.com/p-61145443.html
阅读指引：本文着重计算非Abel群的特征标表。
大多数偶数阶Abel群特征标表的计算其实就是模n的Dirichlet特征的计算，请参看《数论中偶数阶Abel群的阶》这篇文章：https://blog.csdn.net/u010401391/article/details/104693545
有限群共轭类数目的计算请参看《有限群共轭类的计算》这篇文章：https://www.cnblogs.com/Ivanhan2019/p/12419767.html
摘要：本文主要讨论了通过群的同构分类的观点系统给出了低阶（31阶以下）群的特征标表。为了解决这一问题，本文引用一个主要定理（文献1），通过这个定理解决了24阶群的所有同构分类情况。
本文具体分析了群的结构。第二章，我们证明一些有关群同构理论和特征标的理论。第三章，我们主要探讨低阶群的同构关系。第四章，我们利用低阶群的同构关系构造其相应的特征标表。
关键词：生成关系；同构；特征标。
引言
本文主要的目的是通过群作用的观点系统的给出了低阶群（30阶群以下）的各种分类情况以及生成关系。为了解决这一问题，主要是16阶群和24阶群的所有同构分类情况。16阶群在文献[3]中和文献[11]已经具体给出各种生成关系和特征标表。为了解决24阶群的所有同构分类情况，本文引进了一个主要的定理。
定理1给出了半直积同构的一个充分必要条件。这样，我们就可以一一讨论24阶群的所有生成关系。
这样，我们可以分为三种情况来一一构造群的特征标表，第一种为循环群，第二种为交换群，第三种为非交换群。其中构造非交换群的特征标表比较复杂，我们利用同构关系逐一构造出来。
表1：低阶群的阶数与群数对应表
gap> for i in [1..30] do Print(NumberSmallGroups(i),"种",i,"阶群,"); od;
1种1阶群,1种2阶群,1种3阶群,2种4阶群,1种5阶群,2种6阶群,1种7阶群,5种8阶群,2种9阶群,2种
10阶群,1种11阶群,5种12阶群,1种13阶群,2种14阶群,1种15阶群,14种16阶群,1种17阶群,5种18阶群,1种
19阶群,5种20阶群,2种21阶群,2种22阶群,1种23阶群,15种24阶群,2种25阶群,2种26阶群,5种27阶群,4种
28阶群,1种29阶群,4种30阶群,
本文将上面阶数所对应的群的生成关系一一讨论，对应其特征表构造出来。
第一章 预备知识
从群G的特征标表可得到关于G的大量群论方面的信息，我们可以找到其中心化子与共轭类的基数，正规子群，与其导群之间的关系。
第二章 群的同构和特征标
引理2.5：循环群的自同构群是交换群。有限循环群C_n有φ(n)个自同构，Aut(C_n)=(Z/nZ)^*。
引理2.6：（N/C定理）设H{<=}G，则N_G(H)/C_G(H)同构于Aut(H)的一个子群。
第三章 低阶群的同构分类
结论3.11.2设G是16阶有限非交换群，分为三种情况讨论：（假设K=G'∩Z(G)）
第一种：G若有8阶循环子群（G/K=D_8）,则
二面体群SmallGroup(16,7)
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^8, F.2^2, F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(-1))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 7 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^8, F.2^2, F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(3))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 8 ]
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^8, F.2^2, F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(-3))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 6 ]
或广义四元数群SmallGroup(16,9)
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^8, F.2^2*(F.1^4)^(-1), F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(-1))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 9 ]
以下说明上述4种群彼此互不同构。
第二种 设G是16阶有限交换群，且没有8阶循环子群，但4阶循环子群正规，（G/K=C_2×C_2×C_2）则
gap> F:=FreeGroup(2);;G:=F/[F.1^4, F.2^4, F.1 * F.2 * (F.2*(F.1)^(-1))^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 4 ]
SmallGroup(16,11)=D_8×C_2【注：原文中抄错了？】
gap> F:=FreeGroup(3);;G:=F/[F.1^4,F.2^2,F.3^2,F.2 * F.3 * (F.3*F.2)^(-1),F.1*F.3*(F.3*F.1)^(-1),(F.2*F.1*F.2^(-

1))*F.1];;IdGroup(G);
[ 16, 11 ]
或
SmallGroup(16,12)=Q_8×C_2【注：原文中抄错了？】
gap> F:=FreeGroup(3);;G:=F/[F.1^2*(F.2^2)^(-1),F.1^2*((F.1*F.2)^2)^(-1),F.3^2,F.2 * F.3 * (F.3*F.2)^(-1),F.1*F.3*

(F.3*F.1)^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 12 ]
因而，上述三群彼此互不同构。
第三种 设G是16阶有限交换群，没有8阶循环子群，且4阶循环子群部正规，（G/K=C_4×C_2）则
gap> F:=FreeGroup(3);;G:=F/[F.1^4,F.2^2,F.3^2,F.2^(-1) * F.1*F.2 * F.1^(-1),F.3^(-1)*F.1*F.3*(F.1*F.2)^(-1),F.3^

(-1)*F.2*F.3*F.2^(-1)];;IdGroup(G);
[ 16, 3 ]
第四章 低阶群的特征标表
本章分为三种情况来构造低阶群的特征标表。
第一种：循环群C_n的特征标表

奇数阶循环群C_3的特征标表
gap> C3:=GroupWithGenerators([E(3)]);;L:=Elements(C3);IdGroup(C3);for i1 in L do for i2 in L do Print(Position(L,i1*i2)," ");od;Print("\n");od;n:=Size(L);for i in [1..n] do Print(i,"->",L[i],",",Order(L[i]),"阶元\n");od;    [ 1, E(3)^2, E(3) ]
[ 3, 1 ]
1 2 3
2 3 1
3 1 2
3
1->1,1阶元
2->E(3)^2,3阶元
3->E(3),3阶元
gap> A:=E(3);;L1:=[1,A,1/A];X1:=[1,1,1];X2:=[1,A,1/A];X3:=[1,1/A,A];XL:=[X1,X2,X3];;for Xi in XL do for i1 in Xi do Print(Position(L1,i1)," ");od;Print("\n");od;
[ 1, E(3), E(3)^2 ]
[ 1, 1, 1 ]
[ 1, E(3), E(3)^2 ]
[ 1, E(3)^2, E(3) ]
1 1 1
1 2 3
1 3 2
循环群的同态像是循环群：
Imφ1={1}=C_1
Imφ2=Imφ3={1,2,3}=C_3

gap>g:=CyclicGroup(3);;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 3, 1 ]
CT3

     3  1  1  1

       1a 3a 3b

X.1     1  1  1
X.2     1  A /A
X.3     1 /A  A

A = E(3)
  = (-1+Sqrt(-3))/2 = b3

第二种：Abel群（也包括初等交换群）的特征标表：
第三种：非交换群的特征标表：本节利用第一章的定义分别讨论。
（Ⅰ）二面体群D_2n的特征标表
D_3
1,1,1
1,1,-1
2,-1,0
D_4
1,1,1,1,1
1,1,1,-1,-1
1,-1,1,1,-1
1,-1,1,-1,1
2,0,-2,0,0
D_5
p=2cos(2pi/5)=(sqrt(5)-1)/2
p^(-1)=-2cos(4pi/5)=(sqrt(5)+1)/2
1,1,1,1
1,1,1,-1
2,p,-p^(-1),0
2,-p^(-1),p,0

gap> g:=DihedralGroup(8);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT5

     2  3  2  2  3  2

       1a 2a 4a 2b 2c

X.1     1  1  1  1  1
X.2     1 -1  1  1 -1
X.3     1  1 -1  1 -1
X.4     1 -1 -1  1  1
X.5     2  .  . -2  .
gap> g:=QuaternionGroup(8);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT6

     2  3  2  2  3  2

       1a 4a 4b 2a 4c
    2P 1a 2a 2a 1a 2a
    3P 1a 4a 4b 2a 4c

X.1     1  1  1  1  1
X.2     1 -1 -1  1  1
X.3     1 -1  1  1 -1
X.4     1  1 -1  1 -1
X.5     2  .  . -2 

（Ⅱ）置换群S_n和交代群A_n的特征标表

对称群S_3共有6个元素，因此不可约表示的维数只可能是1和2，它只有3个不可约特征标，1+1+2^2=6，不难得出其特征标表：
gap> g:=SymmetricGroup(3);;cl:=ConjugacyClasses(g);L1:=List(cl,Representative);L2:=List(cl,Centralizer);L3:=List(L2,IdGroup);L4:=List(cl,Size);tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ ()^G, (1,2)^G, (1,2,3)^G ]
[ (), (1,2), (1,2,3) ]
[ Group([ (1,3), (2,3) ]), Group([ (1,2) ]), Group([ (1,2,3) ]) ]
[ [ 6, 1 ], [ 2, 1 ], [ 3, 1 ] ]
[ 1, 3, 2 ]
CT2

     2  1  1  .
     3  1  .  1

       1a 2a 3a
    2P 1a 1a 3a
    3P 1a 2a 1a

X.1     1 -1  1
X.2     2  . -1
X.3     1  1  1
注意：D_3或S_3、D_4特征标表中的.是0。
由乘法表写出群G的正则表示[群元用|G|*|G|矩阵表示]及内禀正则表示？
G=S_3={I,r,r^2,f,fr,fr^2}={I,f

这篇关于李德乐：低阶群的特征标表的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！


http://www.chinasem.cn/article/986491。

相关文章

OmniGlue论文详解（特征匹配）

OmniGlue论文详解（特征匹配）

OmniGlue论文详解（特征匹配） 摘要1. 引言2. 相关工作2.1. 广义局部特征匹配2.2. 稀疏可学习匹配2.3. 半稠密可学习匹配2.4. 与其他图像表示匹配 3. OmniGlue3.1. 模型概述3.2. OmniGlue 细节3.2.1. 特征提取3.2.2. 利用DINOv2构建图形。3.2.3. 信息传播与新的指导3.2.4. 匹配层和损失函数3.2.5. 与Super
阅读更多...
《计算机视觉工程师养成计划》 ·数字图像处理·数字图像处理特征·概述~

《计算机视觉工程师养成计划》 ·数字图像处理·数字图像处理特征·概述~

1 定义         从哲学角度看：特征是从事物当中抽象出来用于区别其他类别事物的属性集合，图像特征则是从图像中抽取出来用于区别其他类别图像的属性集合。         从获取方式看：图像特征是通过对图像进行测量或借助算法计算得到的一组表达特性集合的向量。 2 认识         有些特征是视觉直观感受到的自然特征，例如亮度、边缘轮廓、纹理、色彩等。         有些特征需要通
阅读更多...
HalconDotNet中的图像特征与提取详解

HalconDotNet中的图像特征与提取详解

文章目录 简介一、边缘特征提取二、角点特征提取三、区域特征提取四、纹理特征提取五、形状特征提取 简介   图像特征提取是图像处理中的一个重要步骤，用于从图像中提取有意义的特征，以便进行进一步的分析和处理。HalconDotNet提供了多种图像特征提取方法，每种方法都有其特定的应用场景和优缺点。 一、边缘特征提取   边缘特征提取是图像处理中最基本的特征提取方法之一，通过检
阅读更多...
WebShell流量特征检测_哥斯拉篇

WebShell流量特征检测_哥斯拉篇

90后用菜刀，95后用蚁剑，00后用冰蝎和哥斯拉，以phpshell连接为例，本文主要是对后三款经典的webshell管理工具进行流量分析和检测。 什么是一句话木马？ 1、定义 顾名思义就是执行恶意指令的木马，通过技术手段上传到指定服务器并可以正常访问，将我们需要服务器执行的命令上传并执行 2、特点 短小精悍，功能强大，隐蔽性非常好 3、举例 php一句话木马用php语言编写的，运行
阅读更多...
图特征工程实践指南：从节点中心性到全局拓扑的多尺度特征提取

图特征工程实践指南：从节点中心性到全局拓扑的多尺度特征提取

图结构在多个领域中扮演着重要角色，它能有效地模拟实体间的连接关系，通过从图中提取有意义的特征，可以获得宝贵的信息提升机器学习算法的性能。 本文将介绍如何利用NetworkX在不同层面（节点、边和整体图）提取重要的图特征。 本文将以NetworkX库中提供的Zachary网络作为示例。这个广为人知的数据集代表了一个大学空手道俱乐部的社交网络，是理解图特征提取的理想起点。 我们先定义一些辅助函数
阅读更多...
【ML--05】第五课 如何做特征工程和特征选择

【ML--05】第五课 如何做特征工程和特征选择

一、如何做特征工程？ 1.排序特征：基于7W原始数据，对数值特征排序，得到1045维排序特征 2. 离散特征：将排序特征区间化（等值区间化、等量区间化），比如采用等量区间化为1-10，得到1045维离散特征 3. 计数特征：统计每一行中，离散特征1-10的个数，得到10维计数特征 4. 类别特征编码：将93维类别特征用one-hot编码 5. 交叉特征：特征之间两两融合，x+y、x-y、
阅读更多...
【机器学习 sklearn】特征筛选feature_selection

【机器学习 sklearn】特征筛选feature_selection

特征筛选更加侧重于寻找那些对模型的性能提升较大的少量特征。 继续沿用Titannic数据集，这次试图通过特征刷选来寻找最佳的特征组合，并且达到提高预测准确性的目标。 #coding:utf-8from __future__ import divisionimport sysreload(sys)sys.setdefaultencoding('utf-8')import timest
阅读更多...
【python 走进pytotch】pytorch实现用Resnet提取特征

【python 走进pytotch】pytorch实现用Resnet提取特征

无意中发现了一个巨牛的人工智能教程，忍不住分享一下给大家。教程不仅是零基础，通俗易懂， 而且非常风趣幽默，像看小说一样！觉得太牛了，所以分享给大家。点这里可以跳转到教程。人工智能教程 准备一张图片，pytorch可以方便地实现用预训练的网络提取特征。 下面我们用pytorch提取图片采用预训练网络resnet50，提取图片特征。 # -*- coding: utf-8 -*-import os
阅读更多...
快手HBase在千亿级用户特征数据分析中的应用与实践

快手HBase在千亿级用户特征数据分析中的应用与实践

声明：本文的原文是来自Hbase技术社区的一个PPT分享，个人做了整理和提炼。大家注意哈，这种会议PPT类的东西能学习到的更多的是技术方案和他人在实践过程中的经验。希望对大家有帮助。 背景 快手每天产生数百亿用户特征数据，分析师需要在跨30-90天的数千亿特征数据中，任意选择多维度组合(如:城市=北京&性别=男)，秒级分析用户行为。针对这一需求, 快手基于HBase自主研发了支持bitmap转
阅读更多...
【大数据Java基础-JAVA 面向对象15】面向对象的特征三：多态性

【大数据Java基础-JAVA 面向对象15】面向对象的特征三：多态性

1.多态性的理解：可以理解为一个事物的多种形态。 2.何为多态性： 对象的多态性：父类的引用指向子类的对象（或子类的对象赋给父类的引用） 举例： Person p = new Man(); Object obj = new Date(); 3.多态性的使用：虚拟方法调用 > 有了对象的多态性以后，我们在编译期，只能调用父类中声明的方法，但在运行期，我们实际执行的是子类重写父类的方法。 > 总结
阅读更多...

Copyright China编程 23002807@qq.com

沪ICP备2023033072号-2