【数学】高斯-约旦消元

本文主要是介绍【数学】高斯-约旦消元，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

前置知识

高斯消元

高斯-约旦消元

和高斯消元一样，高斯-约旦消元也是通过加减消元来化简方程。两者之间的不同在于，高斯-约旦消元会将系数矩阵消成形如 $A'=\begin{bmatrix}a_{1,1}'&&&&b_1'\\&a_{2,2}'&&&b_2'\\&&\ddots&&\vdots\\&&&a_{n,n}'&b_n'\end{bmatrix}$ 的形式。
一般来说， $a_{i,i}'=1$ ，此时 $x_i=b_i'$ 即为一组解。
特殊情况下， $a_{i,i}'=0$ ，那么解的情况也很好确定，先判无解，再判多解，不多做赘述。
接下来简述高斯-约旦消元的过程。
首先我们利用 $(1)$ 式进行消元，先通过除以 $a_{1,1}$ 将 $a_{1,1}$ 化为 $1$ ，其他和基本高斯消元相同。
接着对于 $(2)$ 式，同样先将 $a_{2,2}$ 化为 $1$ ，此时 $a_{1,0}=0$ ，对 $(1)$ 式的 $a_{1,1}$ 没有影响，故可同理对 $(1)$ 式消元。
同理，消元后必得如上系数矩阵。

优化

同理，交换至最大再消元。

算法参数

时间复杂度： $O(n^3)$
空间复杂度： $O(n^2)$

实现代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long double eps=1e-10;
int n,cur=1;
long double a[110][110];
int main(){cin>>n;for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n+1;j++) cin>>a[i][j];for (int i=1;i<=n;i++){int idx=cur;for (int j=cur;j<=n;j++) if (fabs(a[j][i])>fabs(a[idx][i])) idx=j;if (fabs(a[idx][i])>eps) swap(a[cur],a[idx]);else continue;for (int j=n+1;j>=i;j--) a[cur][j]/=a[cur][i];for (int j=1;j<=n;j++) if (j!=cur) for (int k=n+1;k>=i;k--) a[j][k]-=a[j][i]*a[cur][k];cur++;}for (int i=cur;i<=n;i++) if (fabs(a[i][n+1])>eps){cout<<"No solutions";return 0;}for (int i=1;i<=n;i++) if (fabs(a[i][i])<eps){cout<<"Many solutions";return 0;}for (int i=1;i<=n;i++) printf("x%d=%.10Lf\n",i,a[i][n+1]/a[i][i]);return 0;
}