洛谷 P1028 [NOIP2001 普及组] 数的计算 （递推，数学）

本文主要是介绍洛谷 P1028 [NOIP2001 普及组] 数的计算 （递推，数学），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

[NOIP2001 普及组] 数的计算

题目描述

给出正整数 $n$，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数字 $n$ 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个正整数，但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 $a,b$ 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 $i\le |a|$，使得 $a_i\ne b_i$。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 $n$。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

6

提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

• $6$
• $6,1$
• $6,2$
• $6,3$
• $6,2,1$
• $6,3,1$

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n\le 10^3$。

说明

本题数据来源是 NOIP 2001 普及组第一题，但是原题的题面描述和数据不符，故对题面进行了修改，使之符合数据。原题面如下，谨供参考：

我们要求找出具有下列性质数的个数（包含输入的正整数 $n$）。

先输入一个正整数 $n$（$n\le 1000$），然后对此正整数按照如下方法进行处理：

1. 不作任何处理；
2. 在它的左边拼接一个正整数，但该正整数不能超过原数，或者是上一个被拼接的数的一半；
3. 加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加正整数为止。

感谢 @dbxxx 对本题情况的反馈，原题面的问题见本贴。

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一开始用的爆搜，然后果断MLE了。

这道题应该使用递推比较好，因为如果仔细模拟一下的话，就会发现每一个数字对应的结果都是和前面的数字有关联的。

接下来我们从1模拟到样例的6。

我们总结到以下的规律：

• 可以得到的数字的组合开头都是输入的n
• 开头数字的组合后面出现的数字组合方式都是之前出现过的

那么就变成了很显然的一个递推了。
如果我们要求n = 6，那么就从1推到6，然后6的种类数就是6本身这一种再加上：
1 ~ 6/2：即1到3所对应的所有种类数之和。

CODE：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3+10;
int f[N];
int n;
int main(){cin >> n;for(int i = 1;i <= n;i++){f[i] = 1;for(int j = 1;j <= i/2;j++){f[i] += f[j];}}cout << f[n];return 0;
}

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