Additive secret sharing 加性秘密共享（加法，乘法，向量乘法）

本文主要是介绍Additive secret sharing 加性秘密共享（加法，乘法，向量乘法），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

前言

Additive secret sharing

Secure addition

Secure multiplication

Secure vectorization

前言

本文前一部分主要来自另一篇博客：https://blog.csdn.net/qq_33154865/article/details/106271611，在此感谢这篇博客的作者。

后一部分是因为我想整体地补充完整additive secret sharing，所以加上了addtion和vectorization的部分。

如果还有不清楚的可以看相关视频：https://www.bilibili.com/video/av285066309/

Additive secret sharing

假设数据拥有者有一个数据x，现在将x秘密共享给两个服务器A, B，服务器A随机得到其中一部分（加密后），服务器B也随机得到其中一部分（加密后）。

想要恢复数据或进行计算的时候，一方将自己的数据发给另一方，或者将数据一起发给第三方（具体根据隐私需求来定）。

A方持有信息： ${\left\langle x \right\rangle ^\alpha }$ ， ${\left\langle y \right\rangle ^\alpha }$

B方持有信息： ${\left\langle x \right\rangle ^\beta }$ ， ${\left\langle y \right\rangle ^\beta }$

Note：

Additive有两个含义：

1、加性共享（重点）：这个过程跟一般的secret sharing不同的就是它的所有共享过程都是通过加性（additive）共享来实现的，也就是说对于每一个共享的信息，都有 $x = {\left\langle x \right\rangle ^\alpha } + {\left\langle x \right\rangle ^\beta }$

2、额外的信息：它的加密是靠在原有数据上共享额外（additive）的信息完成的，解密时需要将这些额外的信息根据一定的规律剥离。

Secure addition

秘密地算加法比较简单，A与B共享一个额外的常数c，假设当A要计算时，需要先自己（locally）计算，然后加上B传来的值（已乘上c加密），然后将结果除以c就可以还原出。

验算：

$\begin{array}{l} {\left\langle {x + y} \right\rangle ^\alpha } + {\left\langle {x + y} \right\rangle ^\beta } = \frac{{{{\left\langle {c \cdot x + c \cdot y} \right\rangle }^\alpha }}}{c} + \frac{{{{\left\langle {c \cdot x + c \cdot y} \right\rangle }^\beta }}}{c}\\ = {\left\langle x \right\rangle ^\alpha } + {\left\langle x \right\rangle ^\beta } + {\left\langle y \right\rangle ^\alpha } + {\left\langle y \right\rangle ^\beta }\\ = x + y \end{array}$

Secure multiplication

为了进行乘法计算，附加的信息就不再是简单的常数c，而是一个三元组a, b, c, 满足：

，

根据共享的a, b, c可以计算得来e和f（此处为A方的计算方式，B方同理）：

双方各自计算自己的e和f并共享，最终双方都可以得到真正的e和f值：

最后的乘法结果是：

验算：

$\begin{array}{l} {\left\langle {x + y} \right\rangle ^\alpha } + {\left\langle {x + y} \right\rangle ^\beta } = (f \cdot {\left\langle a \right\rangle ^\alpha } + e \cdot {\left\langle b \right\rangle ^\alpha } + {\left\langle c \right\rangle ^\alpha }) + (e \cdot f + f \cdot {\left\langle a \right\rangle ^\beta } + e \cdot {\left\langle b \right\rangle ^\beta } + {\left\langle c \right\rangle ^\beta })\\ = f \cdot ({\left\langle a \right\rangle ^\alpha } + {\left\langle a \right\rangle ^\beta }) + e \cdot ({\left\langle b \right\rangle ^\alpha } + {\left\langle b \right\rangle ^\beta }) + ({\left\langle c \right\rangle ^\alpha } + \left\langle c \right\rangle ) + e \cdot f\\ = f \cdot a + e \cdot b + c + e \cdot f\\ = (y - b) \cdot a + (x - a) \cdot b + c + (x - a) \cdot (y - b)\\ = ay - ab + bx - ab + ab + xy - ay - bx + ab\\ = xy \end{array}$