【计算机组成原理】运算方法和运算器

2024-04-20 08:36

本文主要是介绍【计算机组成原理】运算方法和运算器,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

数据与文字的表示方法

  • 1. 数据格式
    • 1.1 定点数表示方法
      • 1.1.1 定点小数
      • 1.1.2 定点整数
    • 1.2 浮点数表示方法
      • 1.2.1 浮点数表示
      • 1.2.2 浮点数的规格化
        • 1.2.2.1 尾数为原码表示的规格化
        • 1.2.2.2 尾数为补码表示的规格化
      • 1.2.3 IEEE754标准⭐
    • 1.3 十进制数串的表示方法
      • 1.3.1 字符串形式
      • 1.3.2 压缩的十进制数串形式
        • 用压缩的十进制数串表示一个数
  • 2. 数的机器码表示
    • 2.1 原码表示法
    • 2.2 反码表示法
    • 2.3 补码表示法
    • 2.4 移码表示法

1. 数据格式

在选择计算机的数的表示方式时,需要考虑以下几个因素:
①要表示的数的类型(小数、整数、实数和复数)
②可能的数值范围
③数值精确度
④数据存储和处理所需要的硬件代价

计算机中常用的数据表示格式有两种,一是定点格式,二是浮点格式

在现代计算机中,通常用补码整数表示整数,用原码小数表示浮点数的尾数部分,用移码表示浮点数的阶码部分

一般来说,
定点格式容许的数值范围有限,要求的处理硬件比较简单。
而浮点格式容许的数值范围很大,要求的处理硬件比较复杂。

1.1 定点数表示方法

定点格式:约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。由于约定在固定的位置,小数点就不再使用记号“.”来表示。原理上讲,小数点位置固定在哪一位都可以,但是通常将数据表示成纯小数或纯整数

事实上,机器内部并没有小数点,只是人为的约定了小数点的位置。因此,定点数的编码和运算不需要考虑对应的定点数是小数还是整数,只需要关心它们的符号位和数值位即可

1.1.1 定点小数

定点小数是纯小数,约定小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。

1.1.2 定点整数

定点整数是纯整数,约定小数点位置在有效数值部分最低位之后。


下面表示的是n+1位的定点数的表示形式请添加图片描述
❗注意|x|的取值范围:
如果 x 表示的是纯小数,那么小数点位于 xn 和 xn–1 之间。当 xnxn–1…x1x0 各位均为 0 时,x的绝对值最小,即 |x|min = 0 ;当各位均为1时,x的绝对值最大,即 |x|max = 2-1 + 2-2 +…+ 2-n = 1-2-n,因此表示范围为:0 ≤ |x| ≤ 1-2-n

如果 x 表示的是纯整数,那么小数点位于最低位 x0 的右边,此时 x 的表示范围为:0 ≤ |x| ≤ 2n - 1

定点数的运算简称为整数运算

1.2 浮点数表示方法

浮点数表示法是指以适当的形式将比例因子表示在数据中,让小数点的位置根据需要而浮动。这样在位数有限的情况下,既扩大了数的表示范围,又保持了数的精度。

任意一个十进制数 N 可以写成
N = 10E × M
同样,在计算机中一个任意二进制数 N 可以写成
N = 2e × M

1.2.1 浮点数表示

通常把浮点数表示为:
N = ( -1 )S × M × RE
式中,S取0或1,决定浮点数的符号;
M是一个二进制的定点小数,称为N的尾数,M决定数据的表示精度(因为尾数给出了有效数字的位数);
E是一个二进制定点整数,称为指数阶码是一个定点纯整数,决定数据的表示范围(因为阶码指明小数点的位置)。
R是基数,二进制浮点数R=2,十六进制浮点数R=16…

1.2.2 浮点数的规格化

为了让浮点数在运算过程中尽可能多的保留有效数字的位数,使有效数字尽量占满尾数数位,必须在运算过程中对浮点数进行规格化操作

规格化操作:
通过调整一个非规格化的浮点数的尾数和阶码大小,使非零浮点数在尾数的最高数位上保证是一个有效值。

1.2.2.1 尾数为原码表示的规格化

正数为 0.1xx…xx的形式,最大值表示为0.11…1;最小值表示为0.10…0
负数为 1.1xx…xx的形式,最大值表示为1.10…0;最小值表示为1.11…1

1.2.2.2 尾数为补码表示的规格化

符号位和最高数值位一定相反

正数为 0.1xx…xx的形式,最大值表示为0.11…1;最小值表示为0.10…0
负数为 1.0xx…xx的形式,最大值表示为1.01…1;最小值表示为1.00…0

例题1: 若某浮点数表示为 26 × 1.1110100 ,尾数使用补码表示,如何规格化?
补码算数左移,低位补0;补码算数右移,高位补1
规格化后:23 × 1.0100000

详细一点讲,尾数1.1110100 化成原码为:1.0001100,由于小数点左边的1表示符号而不是数值,因此小数点右边高位的3个0可以用阶码来表示。所以对于 1.1110100 ,直接左移三位,低位补0即可。

1.2.3 IEEE754标准⭐

早期的各种计算机系统的浮点数使用不同的机器码表示阶和尾数,给数据交换和比较带来很大的麻烦。→当前的计算机都采用统一的IEEE754标准中的格式来表示浮点数
在这里插入图片描述

IEEE754标准中,一个规格化的32位浮点数x的真值可表示为:

x = ( -1 )S × M × 2e

=( -1 )S × 1.M × 2E-127

可能你会问,
①为什么一个是M一个是1.M ?
→❗M位(23bit):是尾数,小数点在尾数域的最前面,为了尾数的表示精度提高一位,IEEE规格化浮点数规定小数点左边一位必须是1 ,即1.M (比如(1.75)10 = (1.11)B),这个“ 1 ”通常不予存储,所以M位存储的是有效数据的小数部分,因此尾数域M所表示的值应该是1.M

②为什么一个是e一个是E-127 ?

→❗E位(8bit):是阶码,IEEE754规定,这个阶码比实际数据中的指数真值多127。如果浮点数指数的真值是e,则阶码 E = e + 127
使用带偏移量的阶码(即后面要说的移码)好处是:将有符号数转化为了无符号数,所以:
· 阶码E不用考虑符号
· 便于两个阶码的比较
· 阶码域大者,指数真值也大

1.3 十进制数串的表示方法

一些计算机能直接处理十进制形式表示的数据,十进制数串在计算机内主要有两种表示形式:

1.3.1 字符串形式

1字节存放一个十进制的数位或符号位

主存中,这样一个十进制数占用连续多个字节,因此为了指明一个数,需要给出该数在主存的起始地址和串的长度(字节数、位数)。主要用在非数值计算的应用领域。

1.3.2 压缩的十进制数串形式

1字节存放2个十进制的数位

这种方法比上面那种节省存储空间,也便于直接完成十进制数的算术运算,这种方法采用的较为广泛。跟字符串形式类似,要指明一个数,需要给出该数在主存的起始地址和数字位个数(不含符号位),又称位长

十进制数串表示法的优点是位长可变

用压缩的十进制数串表示一个数

BCD码形式:一个字节放一个十进制的数位或符号位。
在这里插入图片描述

压缩BCD码形式:一个字节放两个十进制的数位。
在这里插入图片描述

符号位:放在最低数字位之后,占半字节
12(C)表示正号,13(D)表示负号。

规定数位+符号位 之和必须是偶数,当和不为偶数时,应在最高数字位前补一个0
在这里插入图片描述在这里插入图片描述

2. 数的机器码表示

前面介绍了数的小数点表示,下面还需要解决数的机器码表示问题。

在计算机中对数据进行运算操作时,符号位如何表示呢?是否也同数值位一道参加运算 操作呢?如参加,会给运算操作带来什么影响呢?

为了妥善地处理好这些问题,就产生了把 符号位和数值位一起编码来表示相应的数的各种表示方法,如原码、补码、反码、移码。 为了区别一般书写表示的数和机器中这些编码表示的数,通常将前者称为真值,后者称为机器码(机器数)

对于同一个数根据需要,计算机可以使用不同的编码方式进行存储。
原码,反码,补码… 是机器存储一个具体数字的编码方式

机器中数据都是以补码形式出现

在这里插入图片描述

2.1 原码表示法

最高位(符号位)表示符号,其余位表示值。
符号位中0表示正数,1表示负数。
在这里插入图片描述

0有两种表示法:
[+0] = 0000 0000
[ -0] = 1000 0000

原码表示法简单易懂,但是运算复杂

2.2 反码表示法

正数的反码 = 原码
负数的反码:符号位不变,其余位取反。
在这里插入图片描述

2.3 补码表示法

正数的补码 = 原码
负数的补码:其反码+1

在这里插入图片描述
补码的特点:
· 补码的0值唯一
· 补码表示的负数范围可以到2n (原码反码只能到2n - 1)
· 补码表示的数据没有符号位(不过我们习惯上认为补码最高位是符号位)

2.4 移码表示法

移码通常用来表示浮点数的阶码,移码只能是整数

移码就是在真值x上加上一个常数(偏置值),这个常数通常取2n。相当于x在数轴上向正方向偏移了若干单位,这就是移码为什么叫移码。
[x] = 2n + x (-2n ≤ x ≤ 2n, 机器字长为n+1)

移码的特点:
· 移码的0值唯一
· 一个真值的移码和补码仅相差一个符号位,[x]的符号位取反就得到[x]
· 移码全0时,对应真值的最小值**-2n**;移码全1时,对应真值的最大值 2n - 1
· 移码保持了数据原有大小的顺序,移码大真值大,移码小真值小

这篇关于【计算机组成原理】运算方法和运算器的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



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