Formal sys-pradicate syntax

本文主要是介绍Formal sys-pradicate syntax，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

基础知识

逻辑符号(Logische Zeichen)

首先是在表达逻辑里已经出现过的：
$\lnot,\land,\lor,\to,\leftrightarrow,(,)$
然后还有几个新的：
$\forall$：表示所有的
$\exists$：表示存在
$V_i$：表示变量//也可以用var表示
$\doteq$：客观相等//给汗了，啥意思啊？？？
(objektsprachliches Gleichheitssymbol)

Signature

一个Signature是指一个三元组(Tripel)$\sum=(F_\sum,P_\sum,\alpha_\sum)$：其中
$F_\sum,P_\sum$是有限的或者是可数无限的(albzählbar unendliche Menge)//也就是可以用自然数连续编号的。
$F_\sum,P_\sum$和前面说到的特殊符号两两不相交//就是不重复得意思
$\alpha_\sum :F_\sum \cup P_\sum \to IN$ //表示映射
$f \in F_\sum$叫做函数符号(Funktionssymbol)
$g \in P_\sum$叫做谓词符号(Prädikatssymbol)//也有叫断言符号的
$\alpha_\sum$是符号中参数个数的映射
f是含有n个参数的函数符号(n-stelliges Funktionssymbol)时有$\alpha_\sum(f)=n$
相应的p如果是含有n个参数的谓词符号(n-stelliges Prädikatssymbol)，那么就有$\alpha_\sum(p)=n$
一个不含有参数的函数符号(nullstelliges Funktionssymbol)又被称为常量符号或者直接就叫做常量
一个不含有参数的谓词符号(nullstelliges Prädikatsymbol)就是表达逻辑中的Atom

Term

Term可以通过归纳法(induktiv)来定义:
1.$Var \in Term_\sum$
2.如果有$f \in F_\sum, \alpha_\sum(f)=n,t_1,...,t_n \in Term_\sum$,那么$f(t_1,...,t_n) \in Term_\sum$
//不含有变量的Term，可以叫做Grundterm

Formel

Atom Formel:
$At_\sum :=${$s \doteq t|s,t \in Term_\sum$} $\cup$ {$p(t_1,...t_n)|p \in P_\sum, \alpha_\sum(p)=n, t_i \in Term_\sum$}
Formel:
$For_\sum$也可以同过归纳法(induktiv)来定义:
1.{1,0} $\cup At_\sum \subseteq For_\sum$
2.如果$x \in Var, A,B \in For_\sum$，那么下列也属于$For_\sum$:
$\lnot A, (A \land B), (A \lor B), (A \to B),(A \leftrightarrow B), \forall_x A,\exists_xA$

自由变量和约束变量(Gebundene und freie Variable)

$Vx(p_0(x,y))$里面x就是约束变量，y就是自由变量
约束变量就是被量词约束着的变量，自由变量与之相反。

符号表示

已知有$A \in For_\sum t \in Term_\sum$:
Bd(A) :={x|$x \in Var, x是A中的约束变量$}
Fr(A):={x|$x \in Var, x是A中的自由变量$}
Var(A):=$Fr(A) \cup Bd(A)$
Var(t):={x|$x \in Var, x在t中出现$}

Abschlussoperationen für Formeln

//看不懂这节 怎么看都觉得他写矛盾了

替换(Substitutionen)

替换就是指一个映射：$\sigma:Var \to Term_\sum$ 其中对于几乎所有的变量var有$\sigma(x) = x$//就是用Term替换变量
就像是那semantic替换syntax，举个例子
$x=f(u)+ g(v), m(x) \leadsto m(f(u)+g(v))$
存在$\sigma(x) \neq x$的，比如x=x+1

用符号表示替换

当：
{$x|\sigma(x) \neq x$} $\subseteq$ {$x_1,...,x_m$}
$\sigma(x_i) = s_i$ i=1,…,m
我们可以把这个替换表示为：
{$x_1/s_1,...,x_m/s_m$}
//即用$s_i$替换$x_i$
另外，我们定义id(x)=x//id表示identische Substitution

替换的应用

已知有：$\sigma$是一个替换，t指代Term， $\varnothing$指代一个Formel 那么就有：
$\sigma(t):$同时替换所有在$\sigma$中出现的变量
$\sigma(\varnothing):$只替换$\sigma$中出现的自由变量

例子

1.$\sigma=${x/f(x,y),y/g(x)}$\Rightarrow$$\sigma(f(x,y))=f(f(x,y),g(x))$
2.$\sigma=${x/c,y/d}$\Rightarrow$$\sigma(\exists yp(x,y))=\exists yp(c,y)$
3.$\sigma=${x/y}$\Rightarrow$$\sigma(\forall yp(x,y))=\forall yp(y,y)$
然后问题就出现了，在第三个例子中，我们把一个自由变量变成了约束变量。这就是所谓的替换的collision了

无冲突的替换(Kollisionsfreie Substitution)

就是字面意思，指不会出现上面的情况的替换。即对于Formel的替换，自由变量替换后用到的变量应该不属于原Formel的约束变量。

多个替换组合(Komposition von Substitution)

假如$\tau$, $\sigma$是两个替换，那么我们定义：
$(\tau \circ \sigma)(x) = \tau(\sigma(x))$
//注意不满足交换律

几个定律

1.$t \in Term_\sum$ $\tau ,\sigma$是两个替换
如果有：$\sigma(t)=\tau(t)$那么就有$\sigma(s)=\tau(s)$其中s是t的子集
证明：略
2.承上当$\sigma(t)=t$，那么就有$\sigma(s)=s$
证明：再次略

变量重命名(Variablenumbenennung)

已知有：$\tau,\sigma$是两个替换
如果有：$\tau \circ \sigma=id$
那么我们就说$\sigma$是变量重命名
因为假如我们有$\sigma(x)=\sigma(y)$那么直接带入上式我们就可以得到x=y。

归一(Unifikation)

已知有：$T \subseteq Term_\sum,T \neq${}，且$\sigma$是$\sum$的一个替换
我们说$\sigma$是T的归一替换，当且仅当$\# \sigma(T)=1$
//#返回个数
另外我们就认为这个T是可归一的(unifizierbar)
例如T={s,t}是可归一的当$\sigma(s)=\sigma(t)$
有可归一的自然就有不可归一的了，举个例子T={$P,\lnot P$}就是不可归一的，我们说他们是矛盾的
那么问题来了，p(s),$\lnot$p(t)会不会也有矛盾呢？？？看起来很严重啊。其答案是当t和s可以归一时，上面两货就矛盾的。
那么问题又来了，p(x,x)和$\lnot$p(a,b)呢?其中x为变量，a，b为常量。若a=b则他们矛盾，若a$\neq b$那么他们不可能归一。这咋算？？？？

再来几个定律

1.每个Term都可以和它自身归一
2.两个Term：$f(s_1,...,s_n),g(t_1,...,t_n)$是不可能归一的(函数名不同)
3.两个Term：$f(s_1,...,s_n),f(t_1,...,t_n)$是可以归一的，当存在一个替换$\sigma$使得$\sigma(s_i)=\sigma(t_i)$ i=1,…,n
4.x是一个变量而t是Term，只有当x不在t中出现是，x和t是可归一的

最一般归一(mgu:most general unifier)(Allgemeinster Unifikator)

定义：$\mu$是T的mau
1.$\mu$可以归一T
2.对于T的每一个归一替换$\sigma$存在一个替换$\sigma'$使得：
$\sigma = \sigma' \circ \mu$
//差一条与重命名有关的定律 木看懂？？？？？

Robinson归一算法

先定义几个符号：
$t^{(i)}$:表示重左向右数Term t中的第i个项，他可能是函数符号也可能是变量
D(T):
当#T<=1时D(T):=T
当#T>=2时D(T):={$t^{(j)}$|t$\in T$} j是T中term之间存在差异的最小位置值
例如：T={f(g(a,x),g(y,b)),f(z,g(v,w)),f(g(x,a),g(v,b))}
D(T)={g(a,x),z,g(x,a)}
Robinson算法如下：
1.S:=T;$\mu :=id$
2.#S=1?是则转3，否则转4
3.输出$\mu$,算法停止
4.D(S)中是否存在一个变量和一个Term t满足$x \notin Var(t)$是则转5，否则转6
5.取出这个x和t；
$\mu :=${x/t}$\circ \mu$
$S:=${x/t}(S)
转到2
6.输出T不可归一，算法停止
//欠可行性证明和mgu证明

这篇关于Formal sys-pradicate syntax的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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