leetcode 1969.数组元素的最小非零乘积

2024-03-21 05:12

本文主要是介绍leetcode 1969.数组元素的最小非零乘积,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

在讲本题之前,我们首先科普一点数学的推导:

首先就是,a,b,c三个不为0的正整数,a<b<c,他们的乘积就是abc。

问:当我们缩小一个数的时候,缩小哪个数才能让它们三个的乘积最小呢?我们可以从最小的和最大的入手,首先我们缩小最小的a,假如我们缩小1,那么乘积就变成了:(a-1)bc=abc-bc。接下来我们看缩小最大的那个数:ab(c-1)=abc-ab。由于ab<bc,所以我们看到,如果我们缩小最小的那个数,他们的乘积就会缩小;

再来,还是这三个数abc,不过我们运用上面缩小了最小数的乘积(a-1)bc,我们在这个乘积的基础上再对于一个数增加,怎样才能使增加一个数时候的乘积最小呢?这个时候我们看b和c,因为a我们已经操作完了,所以我们的目光当然要转向这两个数。当我们增大b的时候,假如也是增加1吧,我们的乘积就变成了(a-1)(b+1)c=(a-1)bc+(a-1)c.如果我们增加c,那么(a-1)b(c+1)=(a-1)bc+(a-1)b.这个时候我们看增加的部分,(a-1)c>(a-1)b,这样比较下来我们知道,在我们缩小了最小值的基础上,我们对于最大值的增大,才会使这个乘积最小化。

再来看我们的题目,这里其实这里的二进制的相同位数调换其实就是对于一个数增加pow(2,p)或者减少pow(2,p),也就上面的数学问题一致化了。这个时候,根据上面得到的结论:在缩小乘积时,缩小时我们需要缩小最小的那个数,增大时我们需要增大最大的那个数。

OK,这样我们来看题目:既然说以上面的结论作为前提我们就需要从左向右找最小值,从右到左找最大值。

首先看1和pow(2,p)-1.,我们可以清楚的知道,这个时候位数是不会交换的,因为最大数的全部位数都是1,所以没办法对于0的位数进行交换,所以我们看第二大的数:也就是pow(2,p)-2这个时候,就有0的存在了,交换之后,1变成了0,另一个数就变成了pow(2,p)-1。是不是就符合前面的结论了呢?是的,也就是增加最大的数,减小最小的数。就这样依次类推下去.....

我们最终会得到0,0,0,......,pow(2,p)-1,pow(2,p)-1。由于我们的乘积并不能为0,这个时候我们就需要把这些大数上的最低位的1与0上的最低位进行交换,就变成了1,1,1,.....,pow(2,p)-2,pow(2,p)-2,pow(2,p)-1的序列,其中,1有pow(2,p-1)-1个,同时pow(2,p)-2也有pow(2,p-1)-1个(这里可以自己算一下,也就是总共有pow(2,p)-1个数,我们去掉pow(2,p)-1本身,然后再除以2,就得到了1和pow(2,p)-2的个数,因为它们之间是成对的交换的,所以需要除以2)

有人可能发现了,这里计算量那么大,是不是需要有一点数学的手段进行操作呢?是的,这里可以用快速幂进行计算。所以我们自己手写一个,然后用上就行了,最后的乘积大家根据刚刚的序列也知道了,就是(pow(2,p)-1)*(pow(pow(2,p)-2,pow(2,p-1)-1).

上代码:

class Solution {
public:long long fast(long long x,long long n, long long mod){long long res=1;for(;n!=0;n>>=1){if(n&1){res=res*x%mod;}x=x*x%mod;}return res;}int minNonZeroProduct(int p) {if(p==1)return 1;long long mod=1e9+7;long long x=fast(2,p,mod)-1;long long y=(long long)1<<(p-1);return fast(x-1,y-1,mod)*x%mod;}
};

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