[硫化铂]守序划分问题

本文主要是介绍[硫化铂]守序划分问题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

守序划分问题

题目大意

在这里插入图片描述

题解

~~Province Team Selection=PTS=PtS=硫化铂，所以就叫这段时间的模拟赛题硫化铂吧。~~
~~结论题，我竟然没有想到~~

首先，既然是结论题，那么有结论，如果我们的一种划分所有集合方案使得 $\min_{i\in S}A_i\geqslant\max_{i\not \in S} A_{i}$ ，那么一定不合法。
必要性是显然的，因为这样的话属于这两个集合内的集合肯定是不能相邻的，而它们因为无论怎么放，都要求这两个集合的点存分割点，使得需要 $\min_{i\in S}A_{i}\leqslant \max_{i\not \in S}A_i$ 。
充分性也是可以证明的，如果满足这个条件我们一定能给出一种构造方法。
我们可以先将所有的 $A$ 按 $max A_i$ 的大小从左往右放置，这样的话 $\forall i\in[2,m],\max A_{p_i}>\min A_{p_{i-1}}$ 是一定成立的。
现在我们的问题是可能会有 $min A_{p_n}>\max A_{p_1}$ 。但显然存在 $k$ 使得 $min A_{p_k}<\min A_{p_n}<\max A_{p_k}<\max A_{p_n}$ ，否则我们上面的条件一定不成立，我们可以将 $A_{p_n}$ 与它大小上被完全包含的集合的集合当作被割裂出去的集合。
故我们可以将 $p_k$ 与 $p_n$ 交换一下，使得 $max A_{p_n}$ 变小，可以发现事实上我们可以不断重复这个过程知道我们的 $max A_{p_1}$ 可以接上来。
于是我们就构造除了一种合法的方案，也就证明了它的充分性。

现在我们考虑如何统计我们的方案数。
其实上面的结论相当于这 $m$ 条线段一定是联通的，也就是说，当我们建立新的左端点时，之前已经建立的左端点对应的右端点一定尚未确立下来，否则就不联通了。
我们从小到大，将一个一个数逐步加入线段。
我们定义 $dp_{i,j,k}$ 表示枚举到第 $i$ 个点，已经确立了 $j$ 条线段的左端点，其中有 $k$ 条的右端点尚未确立。
转移比较好想，枚举这个点是用来新建立线段，不做端点地加入一条线段，或者作为一条线段的右端点，就行了。只要新线段成立时左端点不是所有左端点都右端点就好。

时间复杂度 $O\left(nm^2\right)$ 。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 505
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
const int mod=1e5+3;
const int inv2=5e8+4;
const int jzm=2333;
const int zero=20000;
const int n1=1000;
const int M=100000;
const int orG=3,ivG=332748118;
const long double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-12;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){_T f=1;x=0;char s=getchar();while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*t*a%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int n,m,dp[2][MAXN][MAXN],ans;
signed main(){freopen("partition.in","r",stdin);freopen("partition.out","w",stdout);read(n);read(m);dp[0][1][1]=1;int now=0,las=1;for(int i=2;i<=n;i++){swap(now,las);for(int j=1;j<=min(i,m);j++)for(int k=1;k<=j;k++){if(k)Add(dp[now][j][k-1],1ll*k*dp[las][j][k]%mo,mo);Add(dp[now][j+1][k+1],dp[las][j][k],mo);Add(dp[now][j][k],1ll*k*dp[las][j][k]%mo,mo);if(k)Add(dp[now][j+1][k],dp[las][j][k],mo);}for(int j=1;j<=min(i,m);j++)for(int k=0;k<=j;k++)dp[las][j][k]=0;}printf("%d\n",dp[now][m][0]);return 0;
}