（CSP2019准备）图论专题

本文主要是介绍（CSP2019准备）图论专题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

T1

「NOIP2017」逛公园

题意

策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张 $N$ 个点 $M$ 条边构成的有向图，且没有自环和重边。其中 $1$ 号点是公园的入口， $N$ 号点是公园的出口，每条边有一个非负权值，代表策策经过这条边所要花的时间。

策策每天都会去逛公园，他总是从 $1$ 号点进去，从 $N$ 号点出来。

策策喜欢新鲜的事物，他不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个特别热爱学习的好孩子，他不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果 $1$ 号点到 $N$ 号点的最短路长为 $d$ ，那么策策只会喜欢长度不超过 $d + K$ 的路线。

策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮他吗？

为避免输出过大，答案对 $P$ 取模。

如果有无穷多条合法的路线，请输出 $- 1$ 。
对于不同测试点，我们约定各种参数的规模不会超过如下

测试点编号	$T$	$N$	$M$	$K$	是否有 $0$ 边
$1$	$5$	$5$	$10$	$0$	否
$2$	$5$	$1000$	$2000$	$0$	否
$3$	$5$	$1000$	$2000$	$50$	否
$4$	$5$	$1000$	$2000$	$50$	否
$5$	$5$	$1000$	$2000$	$50$	否
$6$	$5$	$1000$	$2000$	$50$	是
$7$	$5$	$100000$	$200000$	$0$	否
$8$	$3$	$100000$	$200000$	$50$	否
$9$	$3$	$100000$	$200000$	$50$	是
$10$	$3$	$100000$	$200000$	$50$	是

对于 $100\%$ 的数据： $1\le P \le 10^9,1 \le a_i,b_i \le N ,0 \le c_i \le 1000$ 。

数据保证：至少存在一条合法的路线。

题解

直观地有DP式： $f [i] [j]$ 为到i号点，路程比最短路大i的方案数，问题在于转移的顺序。若果没有0边，显然路程递增，就是满足拓扑序的，而加上0边，会产生0环，需要比较复杂的特判。考虑能否直接记忆化搜索，对于一个状态，枚举连向它的边，可以得出它由哪些状态转移过来，于是搜索下去，当发现一个状态调用自己时就判为-1，用标记数组记录哪些状态在调用中即可，这样就减少了思维和代码的难度。

T2

LOJ 2524. 「HAOI2018」反色游戏

题意

小C和小G经常在一起研究搏弈论问题，有一天他们想到了这样一个游戏．

有一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，初始时每个节点有一个颜色，要么是黑色，要么是白色．现在他们对于每条边做出一次抉择：要么将这条边连接的两个节点都反色（黑变白，白变黑），要么不作处理．他们想把所有节点都变为白色，他们想知道在 $2^m$ 种决策中，有多少种方案能达成这个目标．

小G认为这个问题太水了，于是他还想知道，对于第 $i$ 个点，在删去这个点及与它相连的边后，新的答案是多少．

由于答案可能很大，你只需要输出答案对 $10^9 + 7$ 取模后的结果．

对于所有数据，有 $\le T \le 5, 1 \le n, m \le 10^5, 1 \le u, v \le n$ ，没有重边和自环．

题解

也不知道为什么原本什么思路都没有，其实解法还是比较自然的。
对于图感觉很难做，先考虑比较特殊的情况，比如一棵树（感觉这也是一种套路吧）：因为每次反色只会使偶数的黑点变为白点，故若黑点有奇数个一定无解，否则从下往上可把一条条边唯一确定是否取反。
考虑在树上加边，则每次与原树边组成一个环，那么不论这条边取什么，原树边都还是唯一确定一种取颜色的方案，于是一张连通图的总方案为 $2^{m-n+1}$ ，那么设联通块个数为k，则方案数为 $2^{m-n+k}$ 。
对于删去一个点，考虑是否会新增连通块，以及是否会使原连通块无解，维护每个点是否属于割点，以及在DFS树上，含奇数个黑点的子树个数即可。

T3

codeforces 1220E

题意

给定一颗 $n$ 个节点的有根树，要求从根出发，每次不能走上次走来的边，求到达节点权值和的最大值（一个节点经过多次只算一次）。
$n\le 2\times 10^{5},1\le w_i\le 10^{9}$

题解

依据题意，一个边双中的点可以互相任意到达，边双之间也可互相到达。对原图的边双缩点，变为中间是一些边双的外向树的形态，于是贪心即可。

T4

题意

给定坐标系上的n个点，将它们黑白染色，要求使得每行、每列的黑白颜色数差不超过1，输出一种方案。
数据范围： $n\le 200000,1\le x_i,y_i\le 200000$

题解

orz直接切掉的xjq（而我一点思路都没有）
比较套路地（而我完全没想到），把每行、每列看做一个点，每个点看作对应行、列的一条连边，要求把边染色，使每个点黑、白连边颜色数只差不超过1。
先考虑黑白颜色数相等的情况，联想到用欧拉回路交替地把边染色，如果能染完就没有问题（因为每条边都是行和列之间的边）。而欧拉回路存在的条件是每个点度数都为偶数，考虑对于度数为奇数的点，因为还可以有1的误差，故把它们两两之间连边，这样用欧拉回路染色后依然合法。