DTOJ 4746. 我家钥匙放在哪了

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题意

张士超是你在上海音乐学院的基友，关系非常好。你们在五角场附件合租了一间屋子。由于你那么有钱，一下买了 $n$ 把相同的锁，并一下配了 $N$ 把相同的钥匙。你用这些锁并联锁住你家的大门，需要同时插入 $n$ 把钥匙才能打开。

一天晚上，张士超带着华师大的姑娘去了闵行。而且还把你们的 $N$ 把钥匙全部藏在了一些奇怪的地方。

张士超有 $M$ 个可能的地方来藏钥匙，比如地毯，花园，或门口大爷。每处藏匿位置至多可容纳 $a_i$ 把钥匙，并且有 $p_i$ 的独立概率被你找到。当然如果一个位置被你找到了，你就会拿到这里的所有钥匙。你必须至少拿到其中 $n$ 把钥匙才能回家。

假设张士超按所有合法方案中的任何一种方案放钥匙的概率相同。现在你希望算出你可以找到钥匙顺利回家的概率，如果这个概率太小，就干脆打车跑到闵行去把张士超痛扁一顿。

张士超在闵行乐不思蜀，你却在五角场无家可归。你必须在2s内算出答案，否则就会在寒风凛冽的国定路被冻死。

对 $998244353$ 取模。为避免除法可能出现的问题，请输出答案乘上合法方案总数的积，即放钥匙的所有方案中能回家的概率之和。合法方案即一个数组 $0\le b_i\le a_i$ 满足 $0\le b_i\le a_i,{\sum }_i{b}_i=N$

所有测试数据满足 $1\le M\le 100,1\le n\le N\le \sum a_i,1\le N,a_i\le 10^9,1\le d\le 10^7,0\le p_i<998244353，N\le 100d,d|\left(a_i+1\right)$，但并不保证 $d|N$ 或 $d|n$

Other Constraints	$M,N$	$Points$
$a_i\le 10$	$M\le 6$	10
$n=1$ 或 $n=N$	$N\le 100$	5
$n=1$ 或 $n=N$		15
p i ∈ { 0 , 1 } p_{i} \in\{0,1\} pi​∈{0,1}	$N\le 100$	5
p i ∈ { 0 , 1 } p_{i} \in\{0,1\} pi​∈{0,1}		15
No More Constraints	$N\le 100$	30
No More Constraints		20

题解

注意到$N\le 100d$，考虑每个位置先选若干个$d$，最后把剩下的分给每个位置，要求每个位置少于$d$。考虑$n$的限制，如果概率都是$0$或$1$，即在$p=1$位置要放的数总和不少于$n$；考虑把每一种可能性以概率的积的形式记在DP中，先DP出总共放了$i$个$d$，在选的位置放了$j$个$d$，选了$k$个位置的概率总和。

剩下的问题在于把$x$个数放到$M$个位置，每个位置小于$d$，前$k$个位置放不少于$y$个。考虑后者，由于$M$较小，考虑枚举第$y$个数在哪个位置，再乘上组合数即可。对于前者，在DP的时候直接容斥，即当前的位置若选了不少于$d$个就$\ast -1$。这样就做完了，效率为$O(n^4)$。

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