本文主要是介绍【C++】递归 1241 - 角谷猜想 1108 - 正整数N转换成一个二进制数,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
文章目录
- 一、问题:1241 - 角谷猜想
- 二、问题:1108 - 正整数N转换成一个二进制数
- 三、总结
- 四、感谢
一、问题:1241 - 角谷猜想
类型:有规律的循环、递归。
题目描述:
日本一位中学生发现一个奇妙的定理,请角谷教授证明,而教授无能为力,于是产生了角谷猜想。
猜想的内容:任给一个自然数,若为偶数则除以 2 ,若为奇数则乘 3 加 1 ,得到一个新的自然数后按上面的法则继续演算。若干次后得到的结果必为 1 。
请编写代码验证该猜想:求经过多少次运算可得到自然数 1 。
如:输入 22 ,则计算过程为。
22/2=11
11×3+1=34
34/2=17
17×3+1=52
52/2=26
26/2=13
13×3+1=40
40/2=20
20/2=10
10/2=5
5×3+1=16
16/2=8
8/2=4
4/2=2
2/2=1
经过 15 次运算得到自然数 1 。
输入:
一行,一个正整数 n 。( 1≤n≤20000 )
输出:
一行,一个整数,表示得到 1 所用的运算次数。
样例:
输入:
22
输出:
15
1.分析问题
- 已知:一个正整数 n 。
- 未知:得到 1 所用的运算次数。
- 关系:角谷猜想。
2.定义变量
- 定义并读入一个整数n;
//二、数据定义 int n;
3.输入数据
//三、数据输入 cin>>n;
4.数据计算
-
定义全局变量c用于记录操作次数。
-
定义一个名为op的递归函数,参数为需要进行运算的整数n。
-
当n不等于1时,进入递归:
-
如果n是偶数,则对n进行除以2的操作,并以结果作为新的n调用op函数;
-
如果n是奇数,则对n进行乘以3再加1的操作,并以结果作为新的n调用op函数;
-
每进行一次上述操作(无论是除以2还是乘以3加1),全局计数器c加1。
int c=0; void op(int n){if(n!=1){if(n%2==0){op(n/2);}else{op(n*3+1);}++c;}}
- 调用op(n)开始执行角谷猜想的计算流程;
//四、数据计算 op(n);
5.输出结果
- 输出操作次数c,即从输入的n到达1所需经过的步骤数。
//五、输出结果 cout<<c;return 0;
完整代码如下:
#include <bits/stdc++.h> // 引入C++标准库的头文件,包含大部分常用函数和数据结构
using namespace std; // 使用std命名空间,方便调用其中的标准库函数int c = 0; // 定义全局变量c,用于记录执行操作(变换)的次数// 定义递归函数op,参数为整数n
void op(int n) {if (n != 1) { // 如果当前数值n不等于1,则继续进行以下操作if (n % 2 == 0) { // 如果n是偶数op(n / 2); // 将n除以2后作为新的输入值调用op函数(遵循角谷猜想的规则)} else { // 否则,即当n是奇数时op(n * 3 + 1); // 根据角谷猜想将n乘以3并加1后作为新的输入值调用op函数}++c; // 在每次执行完一次操作(无论是否改变n的值)后,计数器c增加1}
}int main() {// 分析问题:实现角谷猜想(Collatz Conjecture),即对于任意正整数n,通过特定规则变换,最终都能到达1int n; // 定义变量n,用于存储用户输入的初始数值// 数据输入cin >> n;// 数据计算op(n); // 调用op函数对给定的n执行角谷猜想的操作流程// 输出结果cout << c; // 输出从初始数值n到1所经历的操作次数return 0; // 程序正常结束,返回0
}
思路二:累计计算递归次数,然后层层返回。思路一致,但这次op函数的实现有所不同,它返回从输入数值n到1所经历的操作步数。
#include <bits/stdc++.h> // 引入C++标准库头文件
using namespace std; // 使用std命名空间// 定义递归函数op,参数为整数n,返回从n到达1所需的操作步数
int op(int n) {if (n != 1) { // 如果当前数值n不等于1,则继续进行以下操作if (n % 2 == 0) { // 如果n是偶数return 1 + op(n / 2); // 将n除以2,并在返回结果上加1(表示这一步操作),然后调用op函数} else { // 否则,即当n是奇数时return 1 + op(n * 3 + 1); // 根据角谷猜想将n乘以3并加1,并在返回结果上加1,然后调用op函数}} else { // 当n等于1时,结束递归return 0; // 返回0,因为从1开始无需额外的操作步数}
}int main() {// 分析问题:实现角谷猜想,计算给定正整数n经过特定规则变换达到1所需要的步骤数// 二、数据定义int n, c; // 定义变量n存储用户输入的初始数值,c存储变换所需的操作步数// 三、数据输入cin >> n;// 四、数据计算c = op(n); // 调用op函数计算从n到1需要的操作步数,并将结果赋值给变量c// 五、输出结果cout << c; // 输出从n到1所经历的操作步数return 0; // 程序正常结束,返回0
}
思路三:同样用于实现角谷猜想,与前一个版本相比,这次op函数多了一个参数c,用来记录递归过程中累计的操作步数。这样每次函数调用时可以直接传递和累加操作步数,无需全局变量来统计。
#include <bits/stdc++.h> // 引入C++标准库头文件
using namespace std; // 使用std命名空间// 定义递归函数op,参数为整数n(当前数值)和c(累计操作步数)
int op(int n, int c) {if (n != 1) { // 如果当前数值n不等于1,则继续进行以下操作if (n % 2 == 0) { // 如果n是偶数return op(n / 2, 1 + c); // 将n除以2,并在累计操作步数上加1,然后调用op函数} else { // 否则,即当n是奇数时return op(n * 3 + 1, 1 + c); // 根据角谷猜想将n乘以3并加1,并在累计操作步数上加1,然后调用op函数}} else { // 当n等于1时,结束递归return c; // 返回累计的操作步数,表示从初始值到达1所需要的步骤数}
}int main() {// 分析问题:实现角谷猜想,计算给定正整数n经过特定规则变换达到1所需要的步骤数// 二、数据定义int n, c = 0; // 定义变量n存储用户输入的初始数值,c初始化为0,用于存储变换所需的操作步数// 三、数据输入cin >> n;// 四、数据计算c = op(n, c); // 调用op函数计算从n到1需要的操作步数,第二个参数c作为累计步数传入,并接收最终结果// 五、输出结果cout << c; // 输出从n到1所经历的操作步数return 0; // 程序正常结束,返回0
}
思路四:实现了角谷猜想的非递归版本。通过一个while循环来迭代地对输入的自然数n进行处理,直到n变为1为止,并在过程中累计进行了多少次运算。最后输出到达1所需的操作步数。
#include <iostream>
using namespace std;int main() {// 一、分析问题// 已知:我们有一个自然数n// 未知:需要计算从这个自然数开始,经过多少次运算(若为偶数则除以2,若为奇数则乘3加1)可以得到自然数1// 关系:根据给定规则迭代变换数字n// 二、数据定义int n, count = 0; // 定义变量n存储用户输入的初始数值,count用于记录进行运算的次数// 三、数据输入cin >> n; // 输入待计算的自然数n// 四、数据计算while (n != 1) { // 当n不等于1时,继续执行循环内的操作if (n % 2 == 0) { // 如果n是偶数n /= 2; // 将n除以2count++; // 操作次数加1} else { // 若n是奇数n = n * 3 + 1; // 根据角谷猜想将n乘以3并加1count++; // 操作次数加1}} // 五、输出结果cout << count << endl; // 输出到达1所需的运算次数return 0; // 程序正常结束,返回0
}
二、问题:1108 - 正整数N转换成一个二进制数
类型:字符串、进制转换
题目描述:
输入一个不大于 32767 的整数 n ,将它转换成一个二进制数。
输入:
输入只有一行,包括一个整数 n (0≤n≤32767)。
输出:
输出只有一行。
样例:
输入:
100
输出:
1100100
输入:
0
输出:
0
1.分析问题
- 已知:整数 n。
- 未知:转换成一个二进制数。
- 关系:进制转换、递归。
2.定义变量
- 定义一个字符串 s 来存储转换后的二进制数。
- 定义整数变量 n,用于接收用户输入的待转换的十进制数。
//二、数据定义 int n;string s="";
3.输入数据
通过 cin>>n; 从标准输入读取一个十进制整数 n。
//三、数据输入cin>>n;
4.数据计算
- 4.1定义一个名为binary的递归函数,接受一个整数n和一个空字符串s作为参数。
string binary(int n, string s){char c; // 用于存储n对2取余的结果(0或1)并转换为字符// 基本情况:当n等于0时,返回当前已经拼接好的二进制字符串sif(0 == n){return s;} // 递归步骤:当n不等于0时,计算n除以2的商,并将其与n对2取余的结果(c)一起传递给下一次函数调用else{c = n % 2 + '0'; // 将余数转换为字符'0'或'1'return binary(n / 2, c + s); // 调用binary函数并将结果与当前的余数拼接到前边}
}
- 4.2 调用binary函数进行二进制转换。
s=binary(n,s);
5.输出结果
- 判断字符串 s 是否为空(即 “”==s),如果为空说明输入的十进制数是0,则直接输出0;否则输出转换得到的二进制字符串 s。
//五、输出结果 if(""==s){cout<<0;}else{cout<<s;}return 0;
完整代码如下:
#include <bits/stdc++.h> // 包含标准输入输出库
using namespace std; // 使用标准命名空间// 定义一个名为binary的递归函数,接受一个整数n和一个空字符串s作为参数
string binary(int n, string s){char c; // 用于存储n对2取余的结果(0或1)并转换为字符// 基本情况:当n等于0时,返回当前已经拼接好的二进制字符串sif(0 == n){return s;} // 递归步骤:当n不等于0时,计算n除以2的商,并将其与n对2取余的结果(c)一起传递给下一次函数调用else{c = n % 2 + '0'; // 将余数转换为字符'0'或'1'return binary(n / 2, c + s); // 调用binary函数并将结果与当前的余数拼接到前边}
}int main(){// 数据定义部分int n; // 输入的十进制整数string s = ""; // 初始化一个空字符串,用于存储转换后的二进制数// 数据输入部分cin >> n; // 从标准输入读取一个整数赋值给n// 数据计算部分s = binary(n, s); // 调用binary函数进行二进制转换// 输出结果部分// 判断字符串 s 是否为空(即 ""==s),如果为空说明输入的十进制数是0,则直接输出0;.if ("" == s){cout << 0;} // 其他情况下,输出已转换好的二进制字符串selse{cout << s;}return 0; // 主函数返回0,表示程序正常结束
}
思路二:
非递归版本。
使用 while(n) 循环,在 n 不等于0的情况下持续进行以下操作:
- 计算 n 除以2的余数,并将其赋值给 x。
- 将 x 转换为字符,通过 c=x+‘0’;,这里利用了 ASCII 码中 ‘0’ 至 ‘9’ 的连续性。
- 将字符 c 添加到字符串 s 的开头,使用 s=c+s; 进行拼接,这样可以确保生成的二进制数是从低位到高位的顺序。
- 将 n 更新为其除以2的商,即 n/=2;。
完整代码如下:
#include <bits/stdc++.h> // 包含C++标准库中的所有头文件(不推荐在生产环境中使用,建议只包含所需头文件)
using namespace std; // 引入std命名空间以简化代码int main() {// 一、分析问题部分(注释中说明)// 需要将一个已知的整数 n 转换成二进制形式表示。// 二、数据定义string s; // 定义一个字符串s用于存储转换后的二进制数int n, x; // n为待转换的十进制整数,x为计算过程中暂存的余数char c; // c用于将余数转换成字符'0'或'1'后添加到s中// 三、数据输入cin >> n; // 从标准输入读取十进制整数n// 四、数据计算while (n) { // 当n非零时进行循环x = n % 2; // 计算n除以2的余数c = x + '0'; // 将余数转换为对应的字符(0或1)s = c + s; // 将字符c添加到字符串s的开头,这样得到的是逆序的二进制数n /= 2; // 更新n为除以2的商,以便下一次循环继续求余操作}// 五、输出结果if ("" == s) { // 如果转换后得到的二进制数为空(即n原来是0)cout << 0; // 输出0} else {cout << s; // 否则输出转换得到的二进制字符串}return 0; // 程序正常结束,返回值为0
}
三、总结
- 递归版本:
-
优点:代码结构简洁清晰,直接体现了问题的递归特性。
-
缺点:如果输入的数值较大,可能会导致较深的递归栈,占用较多内存,甚至可能触发栈溢出。此外,递归版本对于理解递归过程和控制递归深度的要求较高。
- 非递归版本:
-
优点:不会因为递归深度过深而导致栈溢出问题,且对于循环次数有更直观的控制。同时,对于理解和调试代码而言,非递归版本有时更为直观易懂。
-
缺点:相比递归版本,代码量稍多一些,逻辑稍微复杂。
四、感谢
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