第十三届蓝桥杯模拟赛（第三期）第十题（java实现）

问题描述

　　给定 n 个整数 a[1], a[2], ..., a[n]，小蓝希望在中间选出一部分，满足以下两个条件：
　　1. 对于某个下标集合 S，选出的数中有至少 k 个下标在集合 S 中；
　　2. 选出的数按照原来的顺序排列，是严格单调上升的，即选出的是一个上升子序列。
　　请问小蓝最多能选出多少个数。

输入格式

　　输入的第一行包含两个整数 n, k，用一个空格分隔。
　　第二行包含 n 个整数 a[1], a[2], ..., a[n]，相邻的整数间用空格分隔。
　　第三行包含一个长度为 n 的01串，依次表示每个下标是否在集合 S 中，为 0 表示不在 S 中，为 1 表示在 S 中。

输出格式

　　输出一行包含一个整数，表示答案。如果没有满足条件的选法，输出-1。

样例输入

8 2
8 1 2 3 9 4 7 10
10001010

样例输出

3

样例说明

　　由于 8、9、7 三个数中至少要选 2 个，只能选 8 和 9，剩下的数只能选最后一个数 10。

样例输入

8 3
8 1 2 3 9 4 7 10
10001010

样例输出

-1

评测用例规模与约定

　　对于 30% 的评测用例，2 <= n <= 100，0 <= a[i] <= 100, 0 <= k <= 3。
　　对于所有评测用例，2 <= n <= 1000，0 <= a[i] <= 100000, 0 <= k <= 20。

开始解题：我也是看了蓝桥老师的讲解视频才知道，这是经典动态规划最长上升子序列问题的升级版。所以要解这个问题，我们必须先得会最长上升子序列。

这里我就大致说一下最长上升子序列问题（LIS）。比如一个字符串："bvjdupia"，它的LIS则是："bdu"或者"bdp" "bju" "bjp"；再举个例子，一个字符串："jkabce"，它的的LIS是："abce"。相信大家已经明白什么是LIS。

 如图，我们简单的用一个一维数组dp来保存每个元素作为结尾时的lis长度。现在我们来思考如何通过代码生成dp数组。第一项当然是1，因为只有它自己一个元素，那么下一项就要判断它之前的元素有哪些比它小，然后找出其中lis长度最大者，再加1，就是当前项的lis长度。比如我们现在求到了c这个元素，我们往前找发现a（1）、b（2）都比它小，然后我们计算得出b的lis最大，所以我们选择b的lis加1作为c的lis长度。

public class LIS {public static void main(String[] args) {String text = "bvjdupioa";//dp数组的元素保存字符串中每个元素的最长上升子序列，dp数组的索引就对应字符串的每个元素//字符串的最长上升子序列就是dp数组中的最大值int[] dp = new int[text.length()];//0号元素前面没有元素了，所以LIS就是它自己的长度dp[0] = 1;int lis = dp[0];for (int i = 1; i < dp.length; i++) {dp[i] = 1;//这个循环去找text[i]前面的比它小的元素的lis，取其中lis最大值for (int j = 0; j < i; j++) if (text.charAt(j) < text.charAt(i) && dp[i] < dp[j] + 1) dp[i] = dp[j] + 1;if (lis < dp[i]) lis = dp[i];}System.out.println(lis);}}

LIS问题在动态规划中算简单的，这里我就默认你们懂了。我们回过头看看题目中的要求和LIS有哪些不同。题目给了一个s集合，又给了k这个数，它要求的最长上升序列至少要包含k个s集合里的元素。这个s集合很好求，用个数组把01字符串保存起来就好了，原字符串用数组a保存，它们索引一一对应，就很容易知道当前元素是1还是0。我们这里用一维数组来保存lis不够满足条件，再加一维就可以让我们的数据更有含义。

 如图，绿色数字是我们的输入，原字符串为“173489”，这里我们把字符串的值当作行，列号则表示当前列至少有列号那么多个s集合的元素，比如第0列就表示可以没有s集合中的元素，第1列就表示至少有1个s集合里的元素。注意至少！这表示第1列可以多个s集合里的元素，也就是num(s)>=1，这一点是至关重要的。所以我们的dp数组可以表示成：dp[n+1][k+1]，多出一行是为了方便后面的计算，注意我们这里都从索引1开始计算，包括a数组。我们思考一下dp[0][0]的含义，第0行表示没有元素，第0列表示至少包含0个s集合的元素，这样的lis当然是0了。我们再看看dp[0][1...k]的含义，第0行（没有元素），又要求至少要有1...k个s集合的元素，这显然是悖论，我们就把这些元素的值设为负无穷。为什么要设为负无穷？首先不能设为0，0还是一个正确的有可能的情况，其次也不能设为-1，因为我们后面需要用到前面的数，到时候加加加后面就变成一个正确的数值了，前面的数据错误，肯定是会影响到后面的，所以我们设大一点，让这种情况不会发生。当然，java里表示不了负无穷，我就用int的下界极限表示负无穷。

然后我们看看具体怎么循环生成dp数组。因为第0行全都初始化了，我们就从第1行第0列开始。跟普通的LIS问题一样，我们也是找前面的比当前元素小的lis值，然后取其中最大者。但是这里列的选择很有讲究，如果元素是0（不在s集合里），那么我所选择的数据应该要满足当前列号的含义，比如我现在在第1列，那么我找的数据必须得至少有1个s集合里的元素，因为我是0啊，不能满足列号的要求，所以我只能在当前列找，之前的数据肯定都是满足条件了。假如我现在是1，我现在在第1列，等把我自己加进去后是不是就满足列号的要求了呀，所以我们不用在当前列找，我们要去前一列就是第0列找，即使那里找出的数据没有1，但是我自己是个1，我也能满足第1列的要求，至少有1个s集合元素。

我们看看图片上的第1行第2列，第2行第2列，都是很大的负数。这种数据就说明它们是不合法的。还有我们仔细发现，它们数值还都不一样，因为它们都是从前面数据加出来的，所以为什么要设个很大负数的原因就是怕它加着加着变正数了。为什么会加着加着变正确，因为我们程序就是那么设计的，每个元素都是从前面找个数据加1得来的。

最终结果肯定是最后一列（第k列：至少有k个s集合中的元素）中的最大值啦，这都不用我啰嗦了。

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);int n = in.nextInt();int k = in.nextInt();int[] a = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = in.nextInt();String ss = in.next();char[] s = ss.toCharArray();int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];int ans = 0;dp[0][0] = 0;for (int i = 1; i <= k; i++) dp[0][i] = Integer.MIN_VALUE;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= k; j++) {int y = j;if (j > 0 && s[i - 1] == '1') y--;//这里先让它为负无穷的原因是怕它不合法，就是不满足列号要求//如果它合法，自然能从前面找个非负数，然后加1取代现在的值dp[i][j] = Integer.MIN_VALUE;for (int p = 0; p < i; p++) if (a[p] < a[i] && dp[p][y] + 1 > dp[i][j]) dp[i][j] = dp[p][y] + 1;}if (dp[i][k] > ans) ans = dp[i][k];}System.out.println(ans);}
}