用infinite Egyptian Fraction展开表示1

2024-02-04 00:18

本文主要是介绍用infinite Egyptian Fraction展开表示1,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

问题和来源

微博上有网友放出如下问题,1000元征集一个解:

#数学题征婚## 最近流行套路白富美数学题征婚,我也来出一个题目很简单的数学题,有本事的数学爱好者和IT男、IT女可以来试试。
埃及分数是指分子是1的分数,也叫单位分数。古代埃及人在进行分数运算时。只使用分子是1的分数。因此这种分数也叫做埃及分数,或者叫单分子分数。单位分数分解很有意思。
1的单位分数分解很容易解答也很多,但我们加强一下,要求其中一项是所有其它项的乘积,就是求 ∑1/ai+1/Πai=1的整数解。比如1=1/2+1/3+1/(23),
1=1/2+1/3+1/7+1/(2
3*7),
所以{2,3}、{2,3,7}就是要求的两组解。
现在如果谁求出一个不包含偶数的解,我可以个人奖励1000元,帮忙推荐等,可以邮件联系yuange1975@hotmail.com。

@数学文化 @caoz @王思聪 @哆嗒数学讲堂 @万精油微博

吸引@ 数学文化、万精油 的关注还可以理解,找创业投资界@ 王思聪 ?显然不是纯数学动机

数学题征解微博链接
在这里插入图片描述

好在这道题没有限制“奇数”的个数,如果是有限个,很可能能证明精确解不存在。我这里给出另外一种简单的解,把“非偶数”分母个数推广到“无穷多”(或可列个,与正整数个数同一个数量级)解决这个问题。

思路及解答

考虑如下几个已知结果:

(1) 1 2 = ∑ k = 1 + ∞ 3 − k \frac{1}{2}{\rm{ = }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{3^{{{ - k}}}}} \tag{1} 21=k=1+3k(1)

(2) 1 4 = ∑ k = 1 + ∞ 5 − k \frac{1}{4}{\rm{ = }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{5^{{{ - k}}}}} \tag{2} 41=k=1+5k(2)

(3) 1 6 = ∑ k = 1 + ∞ 7 − k \frac{1}{6}{\rm{ = }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{7^{{{ - k}}}}} \tag{3} 61=k=1+7k(3)

(4) 1 12 = ∑ k = 1 + ∞ 1 3 − k \frac{1}{12}{\rm{ = }}\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{13^{{{ - k}}}}} \tag{4} 121=k=1+13k(4)

(5) 1 = 1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 12 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\tag{5} 1=21+41+61+121(5)

显然1可以表示为一个无穷级数的形式,这个形式是一个:infinite Egyptian Fraction 展开。而且每两个奇数都不想等。所有这些奇数的乘积在这个极限的意义之下为0(也就是原来问题中最重要的一项,变成0了),从而,问题的解找到了。

1 = 1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 12 = ∑ k = 1 + ∞ ( 3 − k + 5 − k + 7 − k + 1 3 − k ) + lim ⁡ n → + ∞ 136 5 − n ( n + 1 ) / 2 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left(3^{ - k}+5^{-k}+7^{-k}+13^{-k}\right)} +\lim\limits_{n\to{+\infty}}1365^{-n(n+1)/2} 1=21+41+61+121=k=1+(3k+5k+7k+13k)+n+lim1365n(n+1)/2
其中 1365 = 3 × 5 × 7 × 13 1365=3\times 5\times 7\times 13 1365=3×5×7×13
最后一项为0,所以答案就是:
1 = 1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 12 = ∑ k = 1 + ∞ ( 3 − k + 5 − k + 7 − k + 1 3 − k ) 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left(3^{ - k}+5^{-k}+7^{-k}+13^{-k}\right)} 1=21+41+61+121=k=1+(3k+5k+7k+13k)

后续

不知道这1000元会不会兑现?

他果然耍赖了:增加了一个“数学界认可”这个要求。

我解之前一个素数分解的问题,也只是出于防止不明真相网友上当的意思,顺便熟悉下好久不碰的软件和代码,如此而已了。
在这里插入图片描述

这篇关于用infinite Egyptian Fraction展开表示1的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/675849

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