集训队作业2018：青春猪头少年不会梦到兔女郎学姐（多限制容斥）（生成函数）（组合数学）

本文主要是介绍集训队作业2018：青春猪头少年不会梦到兔女郎学姐（多限制容斥）（生成函数）（组合数学），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

题意

给定 $n$ 种颜色的球，第 $i$ 种颜色的球数量为 $a_i$ 个，一种排列的贡献可以如下计算：先把这个序列首尾相连，然后把所有相邻且颜色相同的段拿出来，贡献为他们的长度之积，求所有排列的贡献和，原排列不同，首尾相连后相同的排列不算同一种。模 $998244353$ 。

先考虑一个序列怎么做
我们对每一个 $i$ 枚举将 $a_i$ 分成 $b_i$ 段，算出这种情况下的方案数已经每一种颜色的贡献
那么答案可以表示为（用 $f (a, b)$ 表示把 $a$ 分成 $b$ 段的所有情况的系数之和）
$\sum_{b}ways*\prod f(a_i,b_i)$
发现 $f$ 就是把 $a$ 分成 $b$ 块然后每一块选一个的方案数，巧妙地发现 $f(a,b)=\binom{a+b-1}{b*2-1}=\binom{a+b-1}{a-b}$
考虑求 $w a y s$ ，把所有颜色放在一起容斥，枚举强制合并的端点个数
$ways=\sum_{c}(\prod \binom{b_i-1}{c_i}(-1)^{c_i})\frac{(\sum b_i-c_i)!}{\prod(b_i-c_i)!}$
那么放到一起就是，换成枚举合并之后的段数
$\sum_b\sum_c\prod f(a_i,b_i)\binom{b_i-1}{c_i-1}(-1)^{b_i-c_i}\frac{(\sum c_i)!}{\prod c_i!}$
发现后面有一个 $\prod c_i!$ ，考虑构造每一种颜色的 $E G F$
$\sum_{c}\frac{x^c}{c!}\sum_{b\ge c}f(a_i,b_i)\binom{b_i-1}{c_i-1}(-1)^{b_i-c_i}$
后面的一坨可以 $N T T$ 求，然后分治 $F F T$ 就可以全部乘起来

考虑环的情况怎么做
强制以 1 开头，那么 1 的生成函数的 $x^c$ 会变成 $x^{c-1}$
减去强制以 1 开头，以 1 结尾的个数，这个的 $x^c$ 会变成 $x^{c-2}$

但发现还是不对，如果环的循环是 $T$ 的话，我们需要统计 $T$ 遍，而实际上只统计了
$\frac{b_1}{\frac{\sum a_i}{T}}$ 遍，我们将第一个生成函数中含 $b$ 的项除一个 $b_1$ ，最后乘上 $m$ 就可以了

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
cs int N = 2e5 + 5;
int read(){int cnt = 0, f = 1; char ch = 0;while(!isdigit(ch)){ ch = getchar(); if(ch == '-') f = -1; }while(isdigit(ch)) cnt = cnt*10 + (ch-'0'), ch = getchar();return cnt * f;
}
#define poly vector<int>
#define pb push_back
cs int Mod = 998244353;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a, b); }
void Dec(int &a, int b){ a = dec(a, b); }
void Mul(int &a, int b){ a = mul(a, b); }
int coe(int a){ return (a&1)?Mod-1:1; }
int ksm(int a, int b){ int ans=1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) ans=mul(ans,a); return ans; } 
int n, m, a[N];
int fac[N], ifac[N], inv[N];
poly f[N];
int C(int n, int m){ if(n<0||m<0||n<m) return 0; return mul(fac[n],mul(ifac[n-m],ifac[m])); }
void Fac_init(int n){fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2; i<=n; i++) inv[i]=mul(Mod-Mod/i,inv[Mod%i]);for(int i=2; i<=n; i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i), ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
}
cs int K = 18;
poly w[K+1];
poly rev; int up, bit;
void init(int deg){up=1,bit=0; while(up<deg) up<<=1,++bit; rev.resize(up);for(int i=0; i<up; i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
}
void NTT_init(){for(int i=1; i<=K; i++) w[i].resize(1<<i-1);int wn=ksm(3,(Mod-1)/(1<<K)); w[K][0] = 1; for(int i = 1; i < (1<<K-1); i++) w[K][i]=mul(w[K][i-1], wn);for(int i = K-1; i; i--) for(int j=0; j<(1<<i-1); j++) w[i][j]=w[i+1][j<<1];
}
void NTT(poly &a, int typ){for(int i=0; i<up; i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int i=1,l=1; i<up; i<<=1,++l)for(int j=0; j<up; j+=(i<<1))for(int k=0; k<i; k++){int x=a[k+j], y=mul(a[k+j+i],w[l][k]);a[k+j]=add(x,y); a[k+j+i]=dec(x,y);}if(typ==-1){reverse(a.begin()+1,a.end());for(int iv=ksm(up,Mod-2),i=0; i<up; i++) a[i]=mul(a[i],iv);}
}
poly operator * (poly a, poly b){int deg = a.size()+b.size()-1; init(deg); a.resize(up); b.resize(up); NTT(a,1); NTT(b,1);for(int i=0; i<up; i++) a[i]=mul(a[i],b[i]); NTT(a,-1); a.resize(deg); return a;
}
poly Solve(int l, int r){if(l==r){ for(int i=1; i<f[l].size(); i++) Mul(f[l][i], ifac[i]); return f[l]; } int mid=(l+r)>>1; return Solve(l,mid) * Solve(mid+1,r);
}
int main(){n = read();for(int i = 1; i <= n; i++) m+=a[i]=read();	Fac_init(m); NTT_init();for(int i = 1; i <= n; i++){poly g(a[i]+1, 0), h(a[i]+1, 0);for(int j = 1; j <= a[i]; j++) g[j]=mul(fac[j-1], C(a[i]+j-1,a[i]-j));if(i==1) for(int j=1; j<=a[i]; j++) Mul(g[j], inv[j]);for(int j=0; j<=a[i]; j++) h[a[i]-j] = mul(ifac[j], coe(j));g=g*h; f[i].resize(a[i]+1);for(int j=1; j<=a[i]; j++) f[i][j]=mul(g[a[i]+j], ifac[j-1]);}poly F=Solve(2,n);poly G(a[1],0);for(int i=0; i<G.size(); i++) G[i]=mul(f[1][i+1], ifac[i]);G=G*F;int ans=0;for(int i=1; i<G.size(); i++) Add(ans, mul(G[i],fac[i]));if(a[1]>1){G=poly(a[1]-1,0);for(int i=0; i<G.size(); i++) G[i]=mul(f[1][i+2], ifac[i]);G=G*F;for(int i=1; i<G.size(); i++) Dec(ans, mul(G[i],fac[i]));} cout << mul(ans, m); return 0;
}