Erathothenes、Jacobi_Symbol计算

实验报告

实验目的

1. 通过编程实现对Erathothenes筛法的熟悉和掌握
2. 通过编程实现对jacobi_symbol计算的熟悉和掌握

实验环境

代码编辑软件：VSCODE
语言：C++、cppStandard: c++17、编译器：mingw64-GCC

Eratosthenes筛法

实验原理

古希腊数学家Eratosthenes(276~194 BC)所提出的一种方法, 给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去。能够生成所有$\le N$的素数表, 直到2004年才被改进。改进版本的核心思想是若$n\le N$且n是合数，则n必有一不大于 $\sqrt{N}$的素因子。最佳筛法的伪码表根据伪码表示的提示，在实际编码中，既要考虑程序的正确性，又要考虑程序的计算开销和存储开销，我们有以下优化算法的启发：

1. 在筛选素数的过程中，设置一个bool型的数组对计算和存储开销较方便控制，以0、1来记录是否为素数
2. 若i不是素数，可以不剔除其倍数，其倍数已经被其因数剔除
3. 不必从$i\ast 2$开始筛，在$i=2$时筛过;也不必在$i\ast 3$时开始…;不必从$i(i-1)$时开始；因为在2、3的时候就已经被筛选过了，就从$i\ast i$开始

实验过程

1. 将通过C++代码的具体编写实现对Eratosthenes算法的理解
2. 通过设置对比实验，从计算时间上观测时间上最优的Eratosthenes相比于初始Eratosthenes的改进效果
3. 引入vector简化编码

代码

#include <iostream>  
#include <vector>  
#include <cmath>  
#include <ctime>
using namespace std;// 书上的最优化的Eratosthenes算法  
vector<long> sieveofEratosthenes(long n) {clock_t start,end;start = clock();// 确认素数vector<bool> isPrime(n + 1, true); // 初始化所有数均为素数，直接标记2-n，索引从0开始，为n+1  long m = sqrt(n); // 只需要筛选到sqrt(n)即可  for (long i = 2; i <= m; i++) { // 从2开始，将它的倍数都标记为非素数  if (isPrime[i]) { // 首先确认是否是素数，再用素数筛倍数for (long j = i * i; j <= n; j += i) {isPrime[j] = false;}}}end = clock();cout<<"sieve of Eratosthenes timeclock is: "<<double(end-start)<<"ms"<<endl;// 记录素数vector<long> primes;for (long i = 2; i <= n; i++) {if (isPrime[i]) {primes.push_back(i); }}return primes;
}vector<long> easyEratosthenes(long n) {// 确认素数clock_t start,end;start = clock();vector<bool> isPrime(n + 1, true); // 初始化所有数均为素数，直接标记2-n，索引从0开始，为n+1   for (long i = 2; i <= n; i++) { // 从2开始，将它的倍数都标记为非素数  for (long j = i * 2; j <= n; j += i) {isPrime[j] = false;}}end = clock();cout<<"easyEratosthenes timeclock is: "<<double(end-start)<<"ms"<<endl;
}int main() {long n;cout << "input the n:" << endl;cin >> n;vector<long> primes = sieveofEratosthenes(n);easyEratosthenes(n);/*for (long prime : primes) {cout << prime <<" "<< endl;    }return 0;*/
}

实验结果

结果分析，时间上最优的筛法和最原始的筛法，在结果上是完全正确的且一致的，但是在计算速度上差距甚大，在10000000的时候差距接近1：5.5。但是由于代码为了便于编写使用了vector函数，若使用最简单的数组来做，运行速度和存储效率可能还对提升，但这不是这次实验的主要目的。

Jacobi_symbol的计算

引入雅可比符号，正是因为计算勒让德符号时，需要把$n$分解成标准分解式，这常常时很麻烦的，这也是运用勒让德符号进行计算时的缺点，避开这个缺点，就是引入雅可比符号，它的计算法则，容易由勒让德符号的性质推出。

实验原理

1. 定理一：
   若$n\equiv n_1(modm)和(n,m)=1$，则
   $$(n/m)=(n_1/m)$$
   若$(n,m)=(n,m_1)=1$，则
   $$(n/m)(n/m_1)=(n/m{m}_1)$$
   若(n,m)=(n_1,m)=1，则
   $$(n/m)=(n_1/m)=(n{n}_1/m)$$
2. 定理二：
   $$(-1/m)=(-1{)}^{(m-1)/2}$$
3. 定理三：
   $$(2/m)=(-1{)}^{m^2-1}$$
4. 定理四：互反律
   若$m$与$n$是第二个正奇数，则$(n,m)=1$，则
   $$(m/n)(n/m)=(-1{)}^{(m-1)(n-1)/4}$$

分析，利用以上定理即可计算雅可比符号，这是柯召《数论讲义》上的定理，上述定理经过某些推导可产生更具体的结论，下面这套：

5. 如果$n$是一个正奇数，则$m_1\equiv m_2(modn)$，那么
   $$(m_1/n)=(m_2/n)$$
6. 如果$n$是一个正奇数，那么
   $$(2/n)=1n\equiv \pm 1(mod8)；(2/n)=-1n\equiv \pm 3(mod8)$$
7. 如果$n$是一个正奇数，那么
   $$(m_1{m}_2/n)=(m_1/n)(m_2/n)$$
   特别地，如果$m=2^{k}t$且$t$为一个奇数，那么
   $$(m/n)=(2/n{)}^k(t/n)$$
8. 如果$m$和$n$是正奇数，那么
   $$(m/n)=-(n/m)m\equiv n\equiv 3(mod4)，(m/n)=(n/m)其他$$

实验过程

通过C++编写实现对雅可比符号的计算，然后验证雅可比符号计算的正确性，由于上述实验原理本质相同，在算术上的改进效果甚微，因此在本代码的编写中考虑到计算的特征，准备对雅可比符号的计算函数设计嵌套模式。

代码

#include <iostream>  
using namespace std;  int jacobiSymbol(int a, int n) {if (a == 0) {return 0;}if (a == -1){if((n-1)%2) return 1;else return -1;}if (n == 1) {return 1;}if (a % 2 == 0) { //定理三应用int k=(n^2-1)%8;if (k%2 == 0) return jacobiSymbol(a/2,n);else return -jacobiSymbol(a/2, n);}if (a<n && n % 2 == 1 && a % 2 == 1) {int zf = ((a-1)*(n-1))/4;              // 互反正负标识位if (zf%2) return jacobiSymbol(n, a);else return -jacobiSymbol(n,a);}if (a>n) {  a = a % n; return jacobiSymbol(a, n);}
}int main() {  int a, n;  cout << "Enter the value of a: ";  cin >> a;  cout << "Enter the value of n which must be the odd integer: ";  cin >> n;  int result = jacobiSymbol(a, n);  cout << "The Jacobi_symobol is "<<result<<endl;return 0;  
}

实验结果

结果表明，雅可比符号计算具有正确性