两位数乘法速算技巧

本文主要是介绍两位数乘法速算技巧，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

前言

原理：设两位数分别为 $10A+C$，$10B+D$，其积为 $S$, 根据多项式展开：
　　 $S=(10A+C)\times (10B+D)=10A\times 10B+C\times 10B+10A\times D+C\times D$
而所谓速算，就是根据其中一些相等或互补（相加为十）的关系简化上式，从而快速得出结果。

一、十位相同

十位是1，个位互补

$A=B=1，C+D=10，S=(10+C)\times (10+D)=100+10C+10D+C\times D=200+C\times D$
即：个位与个位相乘，得数为后积，加上200
例：13×17= 221，14×16= 224

十位是1，个位不互补

$A=B=1，C+D\ne 10，S=(10+C)\times (10+D)=100+10C+10D+C\times D=10\times (10+C+D)+C\times D$
即：乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一
例：15×17=255，19×19=280+81=361

解释：
=>10×(10+C+D) 相当于 10 × (15 + 7) = 220
     C×D 相当于 5 × 7 = 35
     最终结果 220 + 35 = 255

15×17
　　 15 + 7 = 22-
　　 5 × 7 = 35
　　 -----------------------
　　 255

十位相同，个位互补

$A=B，C+D=10，S=(10\times A+C)\times (10\times B+D)=(A+1)\times A\times 100+C\times D$
即：十位数加 1 ，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积
例：56×54=3024，37×33=1221

解释：
=>(A+1)×A×100 相当于 (5+1)×5×100=3000
     C×D 相当于 6 × 4 = 24
     最终结果 3000 + 24 = 3024
　
56 × 54
　　 (5 + 1) × 5 = 30- -
　　 6 × 4 = 24
　　 ----------------------
　　 3024

十位相同，个位不互补

$A=B，C+D\ne 10，S=(10\times A+C)\times (10\times B+D)=100A^2+10A(C+D)+C\times D$
即：先求首位的平方，得数作为前积；两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一；两尾数相乘，得数作为后积
例： 67 × 64 = 4288，56×56=3136

解释：
=>100A^2 相当于 6×6×100=3600
     10A(C+D) 相当于 60 × (7+4) = 660
      C×D 相当于 7 × 4 = 28
     最终结果 3600 + 660 + 28 = 4288
　
67 × 64
　　 6 ×6 = 36- -
　 （4 + 7) ×6 = 66 -
　　 4 × 7 = 28
　　 ----------------------
　　 4288

方法2：$67\times 64=66\times 64+64=67\times 63+67=4288$

二、个位相同

个位是1，十位互补

$C=D=1，A+B=10，S=(10A+1)\times (10B+1)=100AB+10A+10B+1=100AB+101$
即：十位与十位相乘，得数为前积，加上101
例：31×71 = 2201，41×61 = 2501

个位是1，十位不互补

$C=D=1，A+B\ne 10，S=(10A+1)\times (10B+1)=100AB+10A+10B+1$
即：十位数乘积，加上十位数之和为前积，个位为1
例：71×91 = 6461，51×61 = 3111

解释：
=>100AB 相当于 7×9×100=6300
     10A + 10B 相当于 70 + 90 = 160
     最终结果 6300+ 160 + 1 = 6461

71 ×91
　　 7 × 9 = 63 - -
　　 70 + 90 = 16 -
　　 1
　　 ----------------------
　　 6461

个位是5，十位互补

$C=D=5，A+B=10，S=(10A+5)\times (10B+5)=(AB+5)\times 100+25$
即：十位数乘积，加上十位数之和为前积，加上 25
例：35×75 = 2625，45×65 = 2925

解释：
=>(AB +5)×100 相当于 (3×7 +5)×100=2600
     最终结果 2600 + 25 = 2625

35 × 75
　　 3 × 7+ 5 = 26- -
　　 25
　　 ----------------------
　　 2625

个位是5，十位不互补

$C=D=5，A+B\ne 10，S=(10A+5)\times (10B+5)=(A\times B)\times 100+(A+B)\times 5\times 10+25$
即：两首位相乘，得数作为前积，两十位数的和与个位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积
例：75×95 = 7125，45×35 = 1575

解释：
=>(A×B)×100 相当于 (7×9)×100=6300
     (A+B)×5×10 相当于 (7+9)×5×10=800
     最终结果 6300+800+25 = 7125

75 ×95
　　7 × 9 = 63 - -
　　(7 + 9） × 5= 80 -
　　25
　　----------------------------
　　7125

个位相同，十位互补

$C=D，A+B=10，S=(10A+C)\times (10B+D)=(A\times B+C)\times 100+C^2$
即：十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方
例：86×26 = 2236，33×73 = 2409

解释：
=>(A×B+C)×100 相当于 (8×2+6)×100=2200
     C×C 相当于 6×6=36
     最终结果 2200+36 = 2236

86 × 26
　　 8 × 2+6 = 22- -
　　 36
　　 -----------------------
　　 2236

个位相同，十位不互补

$C=D，A+B\ne 10，S=(10A+C)\times (10B+D)=(A\times B)\times 100+(A+B)\times C\times 10+C\times D$
即：头乘头，尾乘尾，再加上头加头的结果乘尾再乘 10
例：73×43 = 3139，44×34 = 1496

解释：
=>(A×B)×100 相当于 (7×4)×100=2800
     C×D 相当于 3×3=9
     (A+B)×C×10 相当于 (7+4)×3×10=330
     最终结果 2800+9+330 = 3139

73×43
　　 7×4=28
　　 9
　　 2809 + (7+4)×3×10=2809+11×30=2809+330=3139
　　 -----------------------
　　 3139

方法2：十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方，再看看十位相加比 10 大几或小几，大几就加几个个位乘十，小几反之亦然
73×43
　　 7×4+3=31
　　 3×3=9
　　 7+4=11 (比10大1，个位是3)
　　 3109 + 3×10=3139
　　 -----------------------
　　 3139
44×34
　　 4×3+4=16
　　 4×4=16
　　 4+3=7 (比10小3，个位是4)
　　 1616 - 4×30 =1496
　　 -----------------------
　　 1496

三、特殊类型

因数首尾相同，另一个因数十位与个位互补

方法：互补的首位加 1 ，得数与另一个乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用 0 补。
例：
66 × 37
　　 (3 + 1) × 6 = 24- -
　　 6 × 7 = 42
　　 ----------------------
　　 2442
33 × 46
　　 (4 + 1) × 3 = 15- -
　　 3 × 6 = 18
　　 ----------------------
　　 1518

因数首尾相同，另一个因数十位与个位不互补

方法：杂乱的那个数首位加 1 ，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用 0 补，再看看非互补的因数相加比 10 大几或小几，大几就加几个相同数的数字乘十，反之亦然
例：
44×38
　　 (3+1) × 4=16
　　 8×4=32
　　 3+8=11 (比10大1，相同的因数是4)
　　 1632 + 10×4 = 1672
　　 ----------------------
　　 1672
55×49
　　 (4+1) × 5=25
　　 5×9=45
　　 4+9=13 (比10大3，相同的因数是5)
　　 2545 + 30×5 = 2695
　　 ----------------------
　　 2695

因数首尾互补，另一个因数十位与个位不相同

方法：乘数首位加 1 ，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用 0 补，再看看不相同的因数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘十，反之亦然
例：
46×75
　　(4+1) × 7=35
　　 6×5=30
　　 5-7=-2
　　 -2×4=-8
　　 3530-80=3450
　　 ----------------------
　　 3450
37×23
　　(3+1) × 2=8
　　 7×3=21
　　 3-2=1
　　 1×3=3
　　 821+30=851
　　 ----------------------
　　 851

因数首比尾小1，另一个因数十位与个位相加等于 9

方法：凑9的数，首位加 1 乘以首数的补数，得数为前积；首比尾小1的数，尾数的补数乘以凑 9 的数首位加 1 为后积，没有十位用 0 补。
例：
56×36
　　 (3+1)×(10-5)=20
　　 (10-6)×(3+1)=16
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　　 2016
78×45
　　 (4+1)×(10-3)=35
　　 (10-8)×(4+1)=10
　　 ---------------
　　 3510

两因数数首不同，尾互补的两位数相乘。

方法：确定乘数与被乘数，反之亦然。被乘数头加一与乘数头相乘，得数为前积，尾乘尾，得数为后积。再看看被乘数的头比乘数的头大几或小几，大几就加几个乘数的尾乘十，反之亦然
　　例： 74×56
　　（ 7+1 ） 5=40
　　 46=24
　　 7-5=2
　　 26=12
　　 1210=120
　　 4024+120=4144
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　　 4144

两因数首尾差一，尾数互补的算法

方法：不用向第五个那么麻烦了，取大的头平方减一，得数为前积，大数的尾平方的补整百数为后积
　　例： 24×36
　　 3>2
　　 3*3-1=8
　　 6^2=36
　　 100-36=64
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　　 864

近 100 的两位数算法

方法：确定乘数与被乘数，反之亦然。再用被乘数减去乘数补数，得数为前积，再把两数补数相乘，得数为后积（未满 10 补零，满百进一）
　　例： 93×91
　　 100-91=9
　　 93-9=84
　　 100-93=7
　　 7*9=63
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　　 8463

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