1048. 鸡蛋的硬度

最近XX公司举办了一个奇怪的比赛：鸡蛋硬度之王争霸赛。

参赛者是来自世界各地的母鸡，比赛的内容是看谁下的蛋最硬，更奇怪的是XX公司并不使用什么精密仪器来测量蛋的硬度，他们采用了一种最老土的办法–从高度扔鸡蛋–来测试鸡蛋的硬度，如果一次母鸡下的蛋从高楼的第a层摔下来没摔破，但是从a+1层摔下来时摔破了，那么就说这只母鸡的鸡蛋的硬度是a。

你当然可以找出各种理由说明这种方法不科学，比如同一只母鸡下的蛋硬度可能不一样等等，但是这不影响XX公司的争霸赛，因为他们只是为了吸引大家的眼球，一个个鸡蛋从100 层的高楼上掉下来的时候，这情景还是能吸引很多人驻足观看的，当然，XX公司也绝不会忘记在高楼上挂一条幅，写上“XX公司”的字样–这比赛不过是XX公司的一个另类广告而已。

勤于思考的小A总是能从一件事情中发现一个数学问题，这件事也不例外。

“假如有很多同样硬度的鸡蛋，那么我可以用二分的办法用最少的次数测出鸡蛋的硬度”，小A对自己的这个结论感到很满意，不过很快麻烦来了，“但是，假如我的鸡蛋不够用呢，比如我只有1个鸡蛋，那么我就不得不从第1层楼开始一层一层的扔，最坏情况下我要扔100次。如果有2个鸡蛋，那么就从2层楼开始的地方扔……等等，不对，好像应该从1/3的地方开始扔才对，嗯，好像也不一定啊……3个鸡蛋怎么办，4个，5个，更多呢……”，和往常一样，小A又陷入了一个思维僵局，与其说他是勤于思考，不如说他是喜欢自找麻烦。

好吧，既然麻烦来了，就得有人去解决，小A的麻烦就靠你来解决了。

输入格式
输入包括多组数据，每组数据一行，包含两个正整数 n 和 m，其中 n 表示楼的高度，m 表示你现在拥有的鸡蛋个数，这些鸡蛋硬度相同（即它们从同样高的地方掉下来要么都摔碎要么都不碎），并且小于等于 n。

你可以假定硬度为 x 的鸡蛋从高度小于等于 x 的地方摔无论如何都不会碎（没摔碎的鸡蛋可以继续使用），而只要从比 x 高的地方扔必然会碎。

对每组输入数据，你可以假定鸡蛋的硬度在 0 至 n 之间，即在 n+1 层扔鸡蛋一定会碎。

输出格式
对于每一组输入，输出一个整数，表示使用最优策略在最坏情况下所需要的扔鸡蛋次数。

数据范围
1≤n≤100,
1≤m≤10
输入样例：

100 1
100 2

输出样例：

100
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样例解释
最优策略指在最坏情况下所需要的扔鸡蛋次数最少的策略。

如果只有一个鸡蛋，你只能从第一层开始扔，在最坏的情况下，鸡蛋的硬度是100，所以需要扔100次。如果采用其他策略，你可能无法测出鸡蛋的硬度(比如你第一次在第二层的地方扔,结果碎了,这时你不能确定硬度是0还是1)，即在最坏情况下你需要扔无限次，所以第一组数据的答案是100。

代码

第一种DP，时间复杂度O（n²m）

#include <iostream>
using namespace std;
int num[105][15];
int n,m;
int main()
{//num[i][j]表示：i层楼j个鸡蛋的所有测量方法的最小值，注意:这里的i层楼是一个相对长度（区间的长度，即该区间有i层楼）/**j个鸡蛋在足够多的情况下可以不用全部用完状态转移：不使用第j个鸡蛋，方案数为f[i, j - 1]使用第j个鸡蛋，则有1~i层楼共i种情况可以扔，假设在第k层扔：蛋碎，搜索区间变成1~k-1，鸡蛋个数减一，方案数为f[k - 1, j - 1]蛋没碎，搜索区间变成k+1~i，第j个蛋可重复利用，方案数为f[i - k, j]因为鸡蛋碎或不碎是我们无法控制的（即最坏情况），但是第j个鸡蛋用不用以及用第j个鸡蛋选哪种扔法却是我们可以控制的，即最优策略选最小值枚举扔的楼层k，在所有可行方案鸡蛋碎或不碎的情况中选择最大值即为最坏情况，答案就是这些可行方案的最小值*/while(cin>>n>>m){for(int i=1;i<=m;i++)num[1][i]=1;//一层楼不管有多少个鸡蛋都是测一次for(int i=1;i<=n;i++)num[i][1]=i;//只有一个鸡蛋，不管有多少层楼都要从1楼测到i楼即测i次for(int i=2;i<=n;i++){//递推n层楼，i也可以从1开始for(int j=2;j<=m;j++){//递推i层楼有j个情况，注意j从2开始，因为i>=1时j=0是无法测量的，j从1开始的话j-1会用到j=0的状态//并且j=1已经初始化过了所以j从2开始num[i][j]=num[i][j-1];//初始条件为不使用这个鸡蛋//使用这个鸡蛋for(int k=1;k<=i;k++){//这个鸡蛋可以从1到i楼摔下来去//num[k-1][j-1]从第k层摔下来去鸡蛋碎了需要测k-1层楼，num[i-k][j]从第k层摔下来去鸡蛋没碎，需要测i-k层楼，取最坏的情况，最后再加上在第k层摔的那一次//即从第k层摔下来最坏情况下所需要的次数，因为有（1到i-1，加上num[i][j-1]即k中选择，选最少次数即可）num[i][j]=min(num[i][j],max(num[k-1][j-1],num[i-k][j])+1);}}}cout<<num[n][m]<<endl;//输出n层楼m个鸡蛋最坏情况下的最少次数}return 0;
}

第二种DP，时间复杂度O（nm）

第二种DP为什么是加法的原理图
假设用j个鸡蛋测量i次最坏情况下能测量区间长度的最大值为L，鸡蛋碎了，少一次测量次数，少一个鸡蛋能测量的最大长度为Q，鸡蛋没碎，少一次测量次数，鸡蛋数不变（刚才那个鸡蛋还可以用）能测量的最大长度为P，此时选择在第K层楼进行测试。如果鸡蛋碎了，那么上面的P层楼我就不需要测了，但是因为其属于鸡蛋没碎时的可测量范围，所以不管鸡蛋碎不碎我都能刚好覆盖。所以两者是加法（注意加上第k层楼那一次测试）
即num[i][j]=num[i-1][j-1] + num[i-1][j] + 1;

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int num[105][15];
int n,m;
int main()
{/*num[i, j]表示用j个鸡蛋测量i次最坏情况下能测量区间长度的最大值*鸡蛋碎或者不碎是我们无法控制的，所以这是最坏的情况，但是如果不管他碎或者不碎，*只要我们剩余的测试次数和鸡蛋个数能测量区间长度的最大值大于（碎或者不碎）我们还需要测量的区间长度，*那该区间对于我们而言都是可测，所以用j个鸡蛋测量i次最坏情况下能测量区间长度的最大值就等于鸡蛋碎了，*少一次测量次数，少一个鸡蛋能测量的最大长度+鸡蛋没碎，少一次测量次数，鸡蛋数不变（刚才那个鸡蛋还可以用）能测量的最大长度+本次测量的那一层楼（即加1）*/while(~scanf("%d%d",&n,&m)){//输入多组测试数据//注意点：这里隐含着一个初始化条件，num[0][1~m]=num[1~n][0]=0（测量0次，不管有多少个鸡蛋能测量的最大长度都为0，没有鸡蛋测量长度也为0）//全局变量默认初始化为0，所以无需重复初始化for(int i=1;i<=n;i++){//最多测量n次肯定有结果，因为num[n][m]>=n;就算在最极端情况下都有num[n][1]=n;for(int j=1;j<=m;j++){//循环鸡蛋的所有情况//num[i-1][j-1]鸡蛋碎了，少一次测量次数，少一个鸡蛋能测量的最大长度//num[i-1][j]鸡蛋没碎，少一次测量次数，鸡蛋数不变能测量的最大长度num[i][j]=num[i-1][j-1] + num[i-1][j] + 1;//1代表本次测量的那一层楼}if(num[i][m]>=n){//如果num[i][m]>=n，则证明有m个鸡蛋测量i次测量楼层的区间长度一定大于等于ncout<<i<<endl;break;}}}
}