（未看完）非配对接送的多次访问的车辆路径问题

本文主要是介绍（未看完）非配对接送的多次访问的车辆路径问题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

DOI:10.1016/j.tre.2017.04.011

摘要

非配对接送的多次访问的车辆路径问题（或者叫做the many-to-many pickup and delivery problem (Battara et al., 2014) with multi-visit）
决策：供需配对和车辆路径
提出数学模型，采用禁忌搜索算法提出高质量的解决方案

问题背景与文献综述

解决烟草公司的工厂之间转移各种原材料运输成本问题。

问题背景

1）每个工厂使用（本地）仓库来储存原材料
2）为确保快速响应和顺利生产，在收到公司中央计划部的10天生产计划后，各工厂需要自行做出工厂间原材料转移决策，以防止缺货。
3）原材料转移方式：当工厂1有发货请求（即需要一定数量的特定类型的原材料）时，它会将发货请求发送到最近的工厂（例如工厂2）；收到交付请求后，工厂2将向工厂1交付请求的原材料，车辆将空车返回；如果工厂2无法完全满足工厂1的需求（即供应有限），则将按照距离（到工厂1）的非递减顺序依次选择其他工厂，直到完全满足需求。

4）每个工厂可能需要一种或几种类型的原材料，但能够同时供应其他类型的原材料。
5）在烟草公司目前的转让模式下，决策权是分散的。
-鉴于上述问题，烟草公司已开始建立一个中央物流管理部门，旨在从全球角度解决这一问题。

此外，网络中的收货和交货时间窗口可以忽略，因为生产计划提前相当一段时间发布，这给了每个工厂足够的时间来收货和交货原材料，以服务于生产。

文献综述

本问题与海上路由和调度问题（MRSP）密切相关。
-MRSP与MIRP类似，但不同之处在于运输与生产无关，因此每种产品的供需信息是确定的。
-与MRSP相比，本研究放宽了收货和发货的时间窗限制，复杂性大大增加。
本问题也与未配对取货和交货问题（UPDP）密切相关。UPDP可分为两类。
-其中一类是带单车的UPDP问题，称为接送旅行商问题（PDTSP）。1-PDTSP由Hernández-Pérez和Salazar Gonzalez（2004a）推出。m-PDTSP由Hernández-Pérez和Salazar Gonzalez（2014）提出。
-另一类是多车辆UPDP，称为PDVRP。
本问题也与分割配送车辆路径问题（SDVRP）有关。本问题允许一辆车多次拜访客户，即同一辆车或不同的车可以多次拜访客户。显然，问题更复杂，但可以节省更多的运输成本。

问题描述和数学模型建立

问题描述

一个包含多个客户、多个产品和一个仓库的运输网络中，具有多个访问的多商品非配对接送车辆路径问题。根据容量和持续时间的限制，分配车队在网络内提取和交付各种产品，以满足每个客户的需求，目标是最小化总运输成本。
假设：
1）车辆是同质的，即所有车辆具有相同的容量、最大工作时间和恒定的行驶速度。
2）每个客户的装卸时间可以忽略不计
3）对于每个客户，每种产品的供应都是有限的。该假设基于实际情况，因为每个工厂的存储容量有限，库存会产生库存持有成本。
4）对于每种产品，总供应量不低于总需求量。
5）对于每个客户，其总需求可以通过多次交付相同或不同的车辆来满足；但是，不允许对同一类型的产品进行分批交付。这个假设是基于现实的。通过一次交货满足对同一类型原材料的需求
N={0，1，…，N，N+1}为顶点集。0和n+1分别代表出发站和目的站，其他顶点表示客户。
H={1，…，M}是一组产品类型。
V={1，…，K}是一组可用的交通工具。
cij是顶点i和j之间的对称旅行费用，等于这两个顶点之间的旅行距离，遵循三角形不等式原理。
tij为i和j之间的行驶时间，等于cij与车速之比。
Q为车辆容量，T为车辆的最大工作时间。

数学模型

（值得学习写作的部分，可纳入论文）即使对于客户数为7、产品类型数为2的问题，基
本模型也很难获得最优解（参见表2）。基本模型非常复杂，主要有两个原因。
1）变量维数过多：放松了单次访问假设，这导致决策变量是高维的（即，路线决策变量是五维的，取送数量决策变量是四维的）。
2）每个顶点的访问次数事先是未知的。在测试中，每个顶点的访问时间上限必须设置为足够大的数量（即总供应量加上顶点处的需求产品类型数量），以获得全局最优解。
因此，基本模型basic model不适用于所研究的问题，并提出了“统一”模型unify model作为简化。由于基本模型能更直观地反映调查问题，从而帮助不同研究背景的读者更清楚地理解问题及其复杂性

Basic model

问题描述为网络(i, a)，i即节点，a即第a次访问
MIP相关含义
A.1：最小化成本
A.2-A.5：确保每辆车从出发车辆段出发2和3，并在目的地车辆段终止4和5。3和5保证车辆仅执行一次行程。
A.6：表示每个位置 (j,b) 仅访问一次
A.7：确保流量守恒
A.8：确保空车出发
A.9：空车返回
A.10：确保如果车辆k到达（j，b），到达（j，b）时车上产品m的数量加上或减去（j，b）处产品m的交付数量，等于车辆离开（j，b）时车上产品m的数量。
A.11：路线中任意两个位置之间的任何产品的装载量不小于零
A.12：规定不能超过每辆车的容量
A.13：确保每辆车的行驶时间不超过其最大工作时间
A.14：如果j是产品m的供应顶点，则顶点j处产品m的供应其他点点总量不超过供应量。
A.15：如果j是产品m的需求顶点，则顶点j处产品m的总交付量等于需求量。
A.16：如果j是产品m的供应顶点，则位置（j，b）处产品m的拾取量不大于顶点j处产品m的供应量和车辆容量中的较小者。并且车辆k未访问（j，b），则qjbmk为0
A.17：如果j是产品m的需求顶点，位置（j，b）处产品m的交付量将等于顶点j处产品m的需求量或等于零。
A.18：收货/发货数量非负
A.19和A.20：消除了每条路线的子路线，MTZ约束
A.21：z与x的关系
A.22和A.23：决策变量的约束
！！！（可学习的转换）A.10替换为A10.1和A.10.2，非线性——线性

Unify model

主要思想是顶点分割。为了避免混淆，使用“节点”来表示从原始顶点分割的子顶点。即使用nodes代替sub-vertexs
根据每个顶点的供需信息，将其分为一组或两组与顶点坐标相同的节点。一种是供应节点组，其中每个节点仅供应一种产品，供应数量为一个单位。因此，供应节点的数量等于在原始顶点供应的所有产品的总量。另一个是需求节点组，其中一个节点表示对一种产品类型的需求
1：最小化总费用
2-5：保证车辆从depot出发一次，结束一次
6-7 ：每个节点访问小于等于一次的约束，⚠️demand和supply的区别
8：流量守恒约束（针对1…nu，因为前面对depot进行限制）
9-12：载重约束。9和10对起始和结束进行约束，11对过程中车辆载重进行计算，12对行程中载重的限制
13：最大行驶时间约束
14-15：子循环约束<参考的 Miller et al. (1960) and Bektas (2006)>
- 15：变量类型约束
18-：pickup and delivery 约束
!!统一模型的解空间比基本模型的解空间大，因为基本模型中的每种产品类型都被视为一个整体，并且一次从一个供应点获取。
该解空间会出现交叉情况crossed pickup，如下图所示。因此增加相关约束，保证与basic model的解空间相同。
18：不同类型的交付不能出现交叉，即相同类型的产品应该一起挑选。
19-21：保证当在一个顶点获取/交付多种类型的产品时，只有一个序列执行获取/交付操作。19保证当需要在一个顶点pickup多种类型的产品时，pickup从小索引产品开始（20则针对delivery）。21确保当pickup和delivery操作都应在顶点执行时，首先执行delivery操作。
22：如果访问某个顶点时需要pickup多个产品单元，则pickup从节点索引较小的节点开始。
统一模型具有更少的决策变量和约束；路由决策变量的维数减少到3，pickup/delivery数量决策变量被消除。

！！Valid inequalities

在统一模型下，即使对于客户数为9、产品类型数为2的问题，也无法获得最优值或更严格的下限（参见表2）。为了确保在时间限制内或内存不足之前从CPLEX中得到最优值或更严格的下限，提出了一些有效的不等式来加强统一模型。

Symmetry breaking inequalities

Symmetry breaking for solutions：解决不同路线但成本相同——采用改进目标函数引入 min load *distance即LD，如23所示。其中p为参数，可看原文取值，小于0.01
Symmetry breaking inequalities for vehicle index：使用指数更小的车辆
Symmetry breaking inequalities for homogeneous node index（对于同质节点的约束）
1）25：对于同质supply节点选择更小index的节点进行服务
2）26：如果同一车辆访问两个同质supply节点，则会按照节点索引的非降序访问。即索引较小的节点具有被访问的优先级。
3）27：如果两个同质supply节点被不同的车辆访问，则索引较小的节点被索引较小的车辆访问