Lee的文章注记

2023-12-28 10:58

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本文主要是介绍Lee的文章注记，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

Maxwell 方程边界条件
Maxwell equation:

\partial t E i - ϵ j k i \partial j B k \partial t B i - ϵ j k i \partial j E k = 0 = 0 (1) (2)

$\begin{align} \partial_t E_i-\epsilon_i^{jk}\partial_jB_k&=0 \tag{1}\\ \partial_t B_i-\epsilon_i^{jk}\partial_jE_k&=0\tag{2} \end{align}$
双曲对称的
记

uα={Ex,Ey,Ez,Bx,By,Bz}(symbol) $u^{\alpha}=\{E_x,E_y,E_z,B_x,B_y,B_z\} \tag{symbol}$
将方程（1）（2）写成矩阵形式可得：

∂tUα+Akαβ∂kUβ=0(3) $\partial_tU^{\alpha}+A^{k\alpha}_{\beta}\partial_{k}U^{\beta}=0\tag{3}$
引进对称化子：

ds2=Sαβduαduβ=δαβduαduβ(4) $ds^2=S_{\alpha\beta}du^{\alpha}du^{\beta}=\delta_{\alpha\beta}du^{\alpha}du^{\beta}\tag{4}$
它可以将矩阵

A $A$ 对称化：

S i j A k j l = A k i l = A k l j

$S_{ij}A^{kj}_{l}=A^{k}_{il}=A^{k}_{lj}$

设 $n^k$ 是边界的外法向量, $n_kA^{ka}_{b}$ 是特征矩阵, $e^{\hat{a}}_b$ 是特征矩阵的左特征向量

e a^b n k A k b a = v a^e a^a (symbol 6)

$e^{\hat{a}}_b n_kA^{kb}_{a}=v_{\hat{a}}e^{\hat{a}}_a \tag{symbol 6}$
方程对角化后的新变量（姑且叫作特征场吧）

ua^=ea^bub(7) $u^{\hat{a}}=e^{\hat{a}}_{b}u^{b}\tag{7}$
分解特征场：(至于为什么这么分解？忘记了)

u 0^\pm = n k E k \pm n k B k (Q8)

$u^{\hat{0}\pm}=n^kE_k \pm n^kB_k\tag{Q8}$

u 1^\pm i = P i j E j \mp ϵ i j k n j B k (Q9)

$u_i^{\hat{1}\pm}=P_{ij}E^j\mp \epsilon_{ijk}n^jB^k\tag{Q9}$

特征矩阵的特征根
$⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0011 - 1 - 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\1\\ 1\\-1\\ -1\end{array}\right)$
$⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 000 n 1 n 3 n 2 n 3 1 n 1 n 3 n 2 n 3 1000 n 3 n 3 n 2 n 1 n 2 2 + n 2 1 n 1 - n 2 n 1 10 - n 2 n 2 3 + n 2 1 n 1 - n 2 n 3 n 1 - n 3 n 1 01 n 2 - n 2 3 + n 2 1 n 1 n 2 n 3 n 1 - n 3 n 1 01 - n 3 - n 3 n 2 n 1 n 2 2 + n 2 1 n 1 - n 2 n 1 10 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟$ $\left(\begin{array}{cccccc}0 &\frac{n_1}{n_3}& n_3 &-n_2& n_2 &-n_3\\0 &\frac{n_2}{n_3}&\frac{n_3n_2}{n_1} &\frac{n^2_3+n^2_1}{n_1}&-\frac{n^2_3+n^2_1}{n_1}& -\frac{n_3n_2}{n_1}\\0&1&\frac{n_2^2+n_1^2}{n_1}&-\frac{n_2n_3}{n_1}&\frac{n_2n_3}{n_1}&\frac{n_2^2+n_1^2}{n_1}\\\frac{n_1}{n_3}& 0&-\frac{n_2}{n_1}&-\frac{n_3}{n_1}&-\frac{n_3}{n_1}&-\frac{n_2}{n_1}\\\frac{n_2}{n_3}&0 &1 &0 &0 &1\\1&0 &0&1&1&0\end{array}\right)$
改装以后的特征向量：
$⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 000 n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3 000 n 3 n 1 n 3 n 2 n 22 + n 21 - n 2 n 1 0 - n 2 n 1 n 23 + n 21 - n 2 n 3 - n 3 0 n 1 n 2 n 1 - n 23 - n 21 n 2 n 3 - n 3 0 - n 1 - n 3 n 1 - n 3 n 2 n 22 + n 21 - n 2 n 1 0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟$ $\left(\begin{array}{cccccc}0 &n_1 & n_3n_1 &-n_2n_1& n_2n_1 &-n_3n_1\\0 &{n_2}&n_3n_2 &n^2_3+n^2_1&-n^2_3-n^2_1& -n_3n_2\\0&n_3 &n_2^2+n_1^2&-n_2n_3&n_2n_3&n_2^2+n_1^2\\n_1& 0&-n_2&-n_3&-n_3&-n_2\\n_2&0 &n_1 &0 &0 &n_1\\n_3&0 &0&n_1&-n_1&0\end{array}\right)$

注记：

$A \times B : = ϵ i j k A j B k$ $A \times B:= \epsilon_{ijk}A^jB^k$
$n \cdot (n \times B) = n i ε i j k n i B k = 0$ $n\cdot (n \times B)=n^i\varepsilon_{ijk}n^iB^k=0$
$\epsilon_{ijk}= \begin{cases}1&(i,j,k)=(1,2,3;2,3,1;3,1,2)\\0&(other)\\-1&(i,j,k)=(3,2,1;2,1,3;1,3,2)\end{cases}$
$ϵ i j k ϵ i l m = δ j l δ k m - δ j m δ k l$ $\epsilon^{ijk} \epsilon_{ilm}= \delta_l ^j\delta_m^k-\delta_m^j\delta_l^k$
$0 = n i P i j = n i (δ i j - n i n j) = n j - n j = 0$ $0=n^iP_{ij}=n^i(\delta_{ij}-n_in_j)=n_j-n_j=0$
$n j = g i j n i$ $n_j=g_{ij}n^i$
$\textbf{Definition}$ projector

$P i j P i j P i j = g i j - n i n j = δ i j - n i n j = g i j - n i n j$ $\begin{align*}P_{ij} &=g_{ij}-n_in_j \\P_{j}^i&=\delta_j^i-n^in_j\\P^{ij} &=g^{ij}-n^in^j\end{align*}$
$\textbf{Example}$ $P_{ij}t^i=t_j$ , $P_{ij}n^j=g_{ij}n^j-n_in_jn^j=0$ 就是说， $P_{ij}$ 可以在切空间上给出一个度量。
$\textbf{Exercise}$ proof that

$n k S k = ϵ i j k n i E j B k = P i j u 1 +^i u 1^+ j - P i j u 1^- i u 1^- j$ $\begin{align}n_kS^k&=\epsilon_{ijk}n^iE^jB^k\\&=P^{ij}u^{\hat{1+}}_iu^{\hat{1}+}_j-P^{ij}u^{\hat{1}- }_{i}u^{\hat{1}-}_{j} \end{align}$

$S n i S i = E \times B = ϵ i j k n i E j B k =$ $\begin{align}S &=E\times B \\n_iS^i&=\epsilon_{ijk}n^iE^jB^k\\&=\end{align}$
point out that $n^iu^{\hat{1}\mp}_i=0$

$n i u 1^\pm i = n i (P i j E j \mp ϵ i j k n j B k) = n i P i j E j \mp n i ϵ i j k n j B k = 0 (Remark)$ $\begin{align*}n^iu^{\hat{1}\pm}_i&=n^i(P_{ij}E^j\mp \epsilon _{ijk}n^jB^k)\\&=n^iP_{ij}E^j\mp n^i\epsilon_{ijk}n^jB^k\\&=0\tag{Remark}\end{align*}$
平面波的例子
Consider very short wavelength plane-wave perturbations that propagate normal to a particular boundary

$δ u α = V α e - i w t + i k n a X a (Q)$ $\delta u^{\alpha}=V^{\alpha} e^{-i wt +ik n_aX^a} \tag{Q}$
$k$ 在这里充当的是波数？ $k$ 足够大的时候
$\partial t δ u α + A k α β \partial k δ u β \approx i (w δ α β - k n k A k α β) V β \approx 0 (QQ)$ $\partial_t \delta u^{\alpha}+A_{\beta}^{k \alpha}\partial_k \delta u^{\beta} \approx i(w \delta^{\alpha}_{\beta}-kn_kA_{\beta}^{k\alpha})V^{\beta}\approx 0\tag{QQ}$