本文主要是介绍Leetcode 312 打气球 Burst Balloons C++ 史上最详细题解系列，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
题目：
Given n balloons, indexed from 0 to n-1. Each balloon is painted witha number on it represented by array nums. You are asked to burst allthe balloons. If the you burst balloon i you will get nums[left] * nums[i] * nums[right] coins. Here left and right are adjacent indices of i. After the burst, the left and right then becomes adjacent.
Find the maximum coins you can collect by bursting the balloons wisely.
Note:
- You may imagine nums[-1] = nums[n] = 1. They are not real therefore you can not burst them.
- 0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100、
Example:
- Given [3, 1, 5, 8]
- Return 167
- nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
- coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167
有 n 个气球，编号为0 到 n-1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。
现在要求你戳破所有的气球。每当你戳破一个气球 i 时，你可以获得 nums[left] * nums[i] * nums[right] 个硬币。 这里的 left 和 right 代表和 i 相邻的两个气球的序号。注意当你戳破了气球 i后，气球 left 和气球 right 就变成了相邻的气球。
求所能获得硬币的最大数量。
//说明:
//你可以假设 nums[-1] = nums[n] = 1，但注意它们不是真实存在的所以并不能被戳破。
0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100
//示例://输入:
[3,1,5,8]//输出:
167
//解释: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167这题实在是。。。太巧妙了，做的时候有感而发。
首先要知道的是要采用dp的方法做。
难点1
dp各项表示什么？
这关乎到做题选手的建模能力，我们代码中选择的是dp[i][j]等于从第i个数到第j个数的这个区间内的乘积最大值（包括i,j)
难点2
如何找递归式？
这里就更巧妙了，总的思路是先确定长度较小的区间，然后在这个区间里选一个数k成为最后一个被打爆的气球,dp[left][i-1]就是左边部分被打爆的最大值,dp[i+1][right]就是右边部分被打爆的最大值，所以我们只需要算最后一次打爆气球的分数再加上2旁区间打爆所有气球的最大值即可。读上面这句话三遍或以上直至读懂，读代码：
// Non-recursion
class Solution {
public:int maxCoins(vector<int>& nums) {int n = nums.size();//记录数组大小为nnums.insert(nums.begin(), 1);//在数组前加1nums.push_back(1);//后加1vector<vector<int> > dp(nums.size(), vector<int>(nums.size() , 0));//构造dp表，注意这时候nums.size()是加过2了的for (int len = 1; len <= n; ++len) {//遍历长度，这个长度len指的是区间[left,right]的长度for (int left = 1; left <= n - len + 1; ++left) {//遍历这个区间的起始点leftint right = left + len - 1;//通过上面的长度遍历求区间的结束点rightfor (int k = left; k <= right; ++k) {//遍历这个区间中的每个点dp[left][right] = max(dp[left][right], nums[left - 1] * nums[k] * nums[right + 1] + dp[left][k - 1] + dp[k + 1][right]);//dp[left][right]表示从left->right中所有点的连乘的最大值，包括left,right。//这个递推式的解释是，我选择k作为最后一个被消除的元素，那么这个区间的连乘的最大值为//nums[left-1]*nums[k]*nums[right+1]（这时候left，right都不在了，因为k才是这个区间的最后一个元素，所以这个区间2边相邻的元素是nums[left-1],nums[right+1].这个式子表示最后一次计算的结果，//dp[left][k-1]指的是从left->k-1乘完后的最大值（包括left,k-1),dp[k+1][right]同理}}}return dp[1][n];//返回整个最大区间的连乘最大值（第1个到第n个）}
};补充：
1.dp[left][k-1] , dp[k+1][right]是你想求就求啊，你以为这是递归函数？
答：这是这道题最巧妙的地方了，仔细看我们的for循环的顺序，第一次我们取长度为1的区间（也就是每个区间只有一个数），第二次for遍历时候取的长度为2的区间，这时候长度为1的区间的结果已经求出来了！刚好可以被长度为2的区间用到！伟大的dp!
2.行行行，那有些时候dp[k+1][right]里的k+1 > right了怎么说？
答：确实会出现这种情况，比如遍历长度为1的区间时。但是这并不影响做题，因为那些都会是0，经过初始化后还没动。
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/weixin_41958153/article/details/81903551
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