有趣的数学 用示例来阐述什么是初值问题二

2023-12-12 10:01

本文主要是介绍有趣的数学 用示例来阐述什么是初值问题二,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

一、示例

        解决以下初值问题。

{y}^{\prime }=3{e}^{x}+{x}^{2}-4,y\left(0\right)=5

        解决这个初始值问题的第一步是找到一个通用的解决方案。为此,我们找到微分方程两边的反导数。

\displaystyle\int {y}^{\prime }dx=\displaystyle\int \left(3{e}^{x}+{x}^{2}-4\right)dx

        即y+{C}_{1}=3{e}^{x}+\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+{C}_{2}

        我们能够对两边进行积分,因为y项是单独出现的。请注意,有两个积分常数:C1C2。求解前面的方程y给出

y=3{e}^{x}+\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+{C}_{2}-{C}_{1}

         因为C1C2都是常数,C2-C1也是一个常数。因此我们可以定义C=C2-C1,这可得方程

y=3{e}^{x}+\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+C

        接下来我们确定C的值。为此,我们替换X=0y=5代入我们前面提到的方程并求解C。

5 = 3e^0 + \frac{1}{3}0^3-4(0) + C

5 = 3 + C

C=2

        现在我们替换该值C=2代入我们的方程。初值问题的解为y=3{e}^{x}+\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+2

        通解与特定解之间的区别在于,通解涉及自变量的一系列显式或隐式定义的函数。一个或多个初始值确定解族中的哪个特定解满足所需条件。 

这就是一个配图,跟正文没关系

二、尝试一下

        解决初值问题{y}^{\prime }={x}^{2}-4x+3 - 6{e}^{x},y\left(0\right)=8

        提示:首先对微分方程两边求反导数。然后替换X=0y=8代入所得方程并求解C

        答案:y=\frac{1}{3}{x}^{3}-2{x}^{2}+3x - 6{e}^{x}+14

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