编程之美买票找零写的太赞了！

本文主要是介绍编程之美买票找零写的太赞了！，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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下半部分转载自http://yishan.cc/blogs/gpww/archive/2009/10/08/2-1-catalan.aspx

题目描述：

假设有2N个人在排队买票，其中有N个人手持50元的钞票，另外有N个人手持100元的钞票，假设开始售票时，售票处没有零钱，问这2N个人有多少种排队方式，不至使售票处出现找不开钱的局面？

题目分析：

这题时典型的卡特兰数（Cartalan）问题

最典型的四类应用（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）
1.括号化问题。
矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4.给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
(一定是二叉树!
先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=h(n))
（能构成h（N）个）

Cartalan数

令h(1)=1

h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + h(3)*h(n-3) + ....+h(n-1)*h(1) (其中n>=2)

该递归求解为h(n) = C(2n, n)/(n+1)

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Catalan数

中文:卡特兰数
原理：
令h(1)＝1,catalan数满足递归式：
h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2)
另类递归式：
h(n)=((4*n-6)/(n))*h(n-1);
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,...)

*连载转贴自http://gpww.blog.163.com，如图片显示有问题，请到原帖...

问题

《编程之美》中提到了“买票找零”问题，查阅了下资料，此问题和卡特兰数 Cn有关，其定义如下：

卡特兰数真是一个神奇的数字，很多组合问题的数量都和它有关系，例如：

Cn= 长度为 2n的 Dyck words的数量。 Dyck words是由 n个 X和 n个 Y组成的字符串，并且从左往右数， Y的数量不超过 X，例如长度为 6的 Dyck words为：

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数，例如 3对括号能够组成：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

Cn= n+1个数相乘，所有的括号方案数。例如， 4个数相乘的括号方案为：

((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：

Catalan number binary tree example.png

Cn=n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数，例如， 4×4方格地图中的路径有：

Cn= n+2条边的多边形，能被分割成三角形的方案数，例如 6边型的分割方案有：

Cn= 圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。

在《Enumerative Combinatorics》一书中，竟然提到了多达 66种组合问题和卡特兰数有关。

分析

“卡特兰数”除了可以使用公式计算，也可以采用“分级排列法”来求解。以 n对括弧的合法匹配为例，对于一个序列 (()而言，有两个左括弧，和一个右括弧，可以看成“抵消了一对括弧，还剩下一个左括弧等待抵消”，那么说明还可以在末尾增加一个右括弧，或者一个左括弧，没有左括弧剩余的时候，不能添加右括弧。
由此，问题可以理解为，总共 2n个括弧，求 1～2n级的情况，第 i 级保存所有剩余 i 个左括号的排列方案数。 1～8级的计算过程如下表：

计算过程解释如下： 1级:只能放 1个“(”； 2级:可以在一级末尾增加一个“）”或者一个“ (”
以后每级计算时，如果遇到剩余 n>0个“(”的方案，可以在末尾增加一个“ (”或者“ )”进入下一级；遇到剩余 n=0个“(”的方案，可以在末尾增加一个“ (”进入下一级。

奇数级只能包含剩余奇数个“（”的排列方案
偶数级只能包含剩余偶数个“（”的排列方案

从表中可以看出，灰色部分可以不用计算。

解法

关键代码为：

        double Catalan(int n){if (n == 0) return 1; for (int i = 2; i <= 2 * n; i++){var m = i <= n ? i : 2 * n + 1 - i;for (int j = (i - 1) & 1; j <= m; j += 2){if (j > 0) arr[j - 1] += arr[j];if (j < n) arr[j + 1] += arr[j];arr[j] = 0;}}return arr[0];}