Wannafly Winter Camp Day8 (Div1, onsite) G 穗乃果的考试

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Problem：传送门

 Portal
 原题目描述在最下面。
 求$\sum i^2\times f(i)$的值。

Solution：

做法2：把平方拆开暴力算每一项。感觉可以用前缀和的前缀和优化一下，应该也是$O(n^2)$的。

做法1：$ans={\sum }_{i=0}^{nm}i\ast i\ast f(i)={\sum }_{i=0}^{nm}({\sum }_{xy}is[x][y]{\sum }_{xy}is[x][y])\ast f(i)={\sum }_{xy}is[x1][y1]{\sum }_{xy}is[x2][y2]{\sum }_{多少个矩形包含(x1,y1)(x2,y2)}$
然后就可以$O((nm{)}^2)$枚举任意两个为$1$的点，然后算有多少个矩形包含这两个点，把结果累加起来就是答案了。
不过这题不需要$O((nm{)}^2)$枚举，你只需要枚举一个$1$，另一个$1$的贡献可以通过前缀和算出来。
我的方法比较麻烦，我是$O(nm)$枚举$1$，然后另一个$1$的贡献分5个部分算出来：

紫色点是我当前枚举到的一个为$1$的点$(x,y)$。规定下面的点$(i,j)$是为$1$的点的坐标。
红色区域的贡献为： { ∑ i × j } × ( n − x + 1 ) × ( m − y + 1 ) \{ \sum i\times j\}\times(n-x+1)\times(m-y+1) {∑i×j}×(n−x+1)×(m−y+1)；
绿色区域的贡献为： { ∑ ( n − i + 1 ) × ( m − j + 1 ) } × x × y \{\sum(n-i+1)\times(m-j+1)\}\times x\times y {∑(n−i+1)×(m−j+1)}×x×y；
蓝色区域的贡献为： { ∑ i × ( m − j + 1 ) } × ( n − x + 1 ) × y \{\sum i\times(m-j+1)\}\times(n-x+1)\times y {∑i×(m−j+1)}×(n−x+1)×y；
黄色区域的贡献为： { ∑ ( n − i + 1 ) × j } × x × ( m − y + 1 ) \{\sum (n-i+1)\times j\}\times x\times(m-y+1) {∑(n−i+1)×j}×x×(m−y+1)；
紫色区域的贡献为：$x\times y\times (n-x+1)\times (m-y+1)$。

然后就这样暴力算，这题就没有了。

AC_Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define lson rt<<1
#define rson rt<<1|1
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MXN = 2e3 + 7;
const LL mod = 998244353;
int n, m;
int ar[MXN][MXN];
LL sum[MXN][MXN], sum1[MXN][MXN], sum2[MXN][MXN], sum3[MXN][MXN],sum4[MXN][MXN];
LL up[MXN][MXN], Left[MXN][MXN], Right[MXN][MXN], down[MXN][MXN];
char s[MXN];
int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1; i <= n; ++i) {scanf("%s", s+1);for(int j = 1; j <= m; ++j) ar[i][j] = s[j] - '0';}for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = 1, tmp; j <= m; ++j) {if(ar[i][j] == 0) tmp = 0;else tmp = i*j;sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+tmp;sum[i][j] = (sum[i][j]%mod+mod)%mod;}}for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = 1; j <= m; ++j) sum1[i][j] = sum[i-1][j-1];memset(sum, 0, sizeof(sum));for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = m, tmp; j >= 1; --j) {if(ar[i][j] == 0) tmp = 0;else tmp = i*(m-j+1);sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j+1]-sum[i-1][j+1]+tmp;sum[i][j] = (sum[i][j]%mod+mod)%mod;}}for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = m; j >= 1; --j) sum2[i][j] = sum[i-1][j+1];memset(sum, 0, sizeof(sum));for(int i = n; i >= 1; --i) {for(int j = 1, tmp; j <= m; ++j) {if(ar[i][j] == 0) tmp = 0;else tmp = (n-i+1)*j;sum[i][j] = sum[i+1][j]+sum[i][j-1]-sum[i+1][j-1]+tmp;sum[i][j] = (sum[i][j]%mod+mod)%mod;}}for(int i = n; i >= 1; --i) for(int j = 1; j <= m; ++j) sum3[i][j] = sum[i+1][j-1];memset(sum, 0, sizeof(sum));for(int i = n; i >= 1; --i) {for(int j = m, tmp; j >= 1; --j) {if(ar[i][j] == 0) tmp = 0;else tmp = (n-i+1)*(m-j+1);sum[i][j] = sum[i+1][j]+sum[i][j+1]-sum[i+1][j+1]+tmp;sum[i][j] = (sum[i][j]%mod+mod)%mod;}}for(int i = n; i >= 1; --i) for(int j = m; j >= 1; --j) sum4[i][j] = sum[i+1][j+1];for(int i = 2; i <= n; ++i) {for(int j = 1, tmp; j <= m; ++j) {if(ar[i-1][j] == 0) tmp = 0; else tmp = (i-1)*j;up[i][j] = up[i-1][j] + tmp;up[i][j] %= mod;}}for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = 2, tmp; j <= m; ++j) {if(ar[i][j-1] == 0) tmp = 0; else tmp = i*(j-1);Left[i][j] = Left[i][j-1] + tmp;Left[i][j] %= mod;}}for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = m - 1, tmp; j >= 1; --j) {if(ar[i][j+1] == 0) tmp = 0; else tmp = (n-i+1)*(m-j);Right[i][j] = Right[i][j+1] + tmp;Right[i][j] %= mod;}}for(int i = n-1; i >= 1; --i) {for(int j = 1, tmp; j <= m; ++j) {if(ar[i+1][j] == 0) tmp = 0; else tmp = (n-i)*(m-j+1);down[i][j] = down[i+1][j] + tmp;down[i][j] %= mod;}}LL ans = 0;for(LL i = 1; i <= n; ++i) {for(LL j = 1; j <= m; ++j) {if(ar[i][j] == 0) continue;ans = (ans + i*j%mod*(n-i+1)%mod*(m-j+1)%mod) % mod;ans = (ans + (sum1[i][j]+up[i][j]+Left[i][j])%mod*(n-i+1)%mod*(m-j+1)%mod)%mod;ans = (ans + (Right[i][j]+down[i][j]+sum4[i][j])%mod*i%mod*j%mod)%mod;ans = (ans + sum2[i][j]*(n-i+1)%mod*j%mod+sum3[i][j]*(m-j+1)%mod*i%mod)%mod;}}printf("%lld\n", (ans+mod)%mod);return 0;
}

Problem Description：