[SCOI2009]迷路 题解

本文主要是介绍[SCOI2009]迷路 题解，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

[SCOI2009]迷路

[SCOI2009]迷路

思考过程

这个东西发现距离只有 $9$，记得 $\mathtt{L}\mathtt{c}\mathtt{m}(1\dots 9)=2520$ 那么直接考虑暴力处理出来，之后对于每个 $T$ 进行分开计算即可。

显然这个很难写，但是同样是因为距离是 $9$ 那么我们每次只能对于 $T$ 增加 $1$ 不妨考虑直接对于每个点拆开计算。

题解

发现这个 $n$ 特别小，进行拆点矩阵快速幂，这里有几个细节就是因为是单向边，对于拆开的点肯定是距离小的连向距离大的。

这边给不是对于矩阵理解很清晰的神仙讲一下矩阵的细节：

笔者的写法是 $f_i$ 表示从 $0$ 开始到达点 $i$ 的方案数。

之后拆点之后也是如此，那么开始的矩阵就是：
$$\left[\begin{array}{ccccccc}{f}_{0,1}& f_{0,2}& \dots & f_{0,9}& f_{1,1}& \dots & f_{n-1,9}\end{array}\right]$$
之后考虑转移系数矩阵 $G$，对于 $i\to j$ 的转移系数的位置是 $G(i,j)$，那么如果有边就直接为 $1$ 即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;//#define Fread
#define Getmod#ifdef Fread
char buf[1 << 21], *iS, *iT;
#define gc() (iS == iT ? (iT = (iS = buf) + fread (buf, 1, 1 << 21, stdin), (iS == iT ? EOF : *iS ++)) : *iS ++)
#define getchar gc
#endif // Freadtemplate <typename T>
void r1(T &x) {x = 0;char c(getchar());int f(1);for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;for(; '0' <= c && c <= '9';c = getchar()) x = (x * 10) + (c ^ 48);x *= f;
}template <typename T,typename... Args> inline void r1(T& t, Args&... args) {r1(t);  r1(args...);
}#ifdef Getmod
const int mod  = 2009;
template <int mod>
struct typemod {int z;typemod(int a = 0) : z(a) {}inline int inc(int a,int b) const {return a += b - mod, a + ((a >> 31) & mod);}inline int dec(int a,int b) const {return a -= b, a + ((a >> 31) & mod);}inline int mul(int a,int b) const {return 1ll * a * b % mod;}typemod<mod> operator + (const typemod<mod> &x) const {return typemod(inc(z, x.z));}typemod<mod> operator - (const typemod<mod> &x) const {return typemod(dec(z, x.z));}typemod<mod> operator * (const typemod<mod> &x) const {return typemod(mul(z, x.z));}typemod<mod>& operator += (const typemod<mod> &x) {*this = *this + x; return *this;}typemod<mod>& operator -= (const typemod<mod> &x) {*this = *this - x; return *this;}typemod<mod>& operator *= (const typemod<mod> &x) {*this = *this * x; return *this;}int operator == (const typemod<mod> &x) const {return x.z == z;}int operator != (const typemod<mod> &x) const {return x.z != z;}
};
typedef typemod<mod> Tm;
#endif//#define int long long
const int maxn = 90 + 5;
const int N = 90;
typedef long long ll;
int n, m;
char s[maxn];
ll T;
#define id(x, y) ( (x - 1) * 9 + y )struct Matrix {int a[maxn][maxn];Matrix(void) { memset(a, 0, sizeof(a)); }Matrix operator * (const Matrix &z) const {Matrix res;for(int i = 1; i <= N; ++ i) for(int j = 1; j <= N; ++ j) {for(int k = 1; k <= N; ++ k) {res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a[i][k] * z.a[k][j]) % mod;}}return res;}
}G, F;void ksm(Matrix &res, Matrix tmp,int mi) {while(mi) {if(mi & 1) res = res * tmp;mi >>= 1;tmp = tmp * tmp;}
}signed main() {
//    freopen("S.in", "r", stdin);
//    freopen("S.out", "w", stdout);int i, j;r1(n, T);for(i = 1; i <= n; ++ i)for(j = 2; j <= 9; ++ j)G.a[id(i, j - 1)][id(i, j)] = 1;for(i = 1; i <= n; ++ i) {scanf("%s", s + 1);for(j = 1; j <= n; ++ j) if(s[j] != '0') {int x = s[j] ^ 48;G.a[id(i, x)][id(j, 1)] = 1;}}F.a[1][1] = 1;ksm(F, G, T);int ans = F.a[1][id(n, 1)];printf("%d\n", ans);return 0;
}

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