CSP：重庆八中宏帆初级中学校新初二编程社C2024liuyanjia暑假一期集训总结（2/6））

一、引言（废话）

近年来，计算机科学成为学科的一大热门，对经济社会发展起到十分巨大的推进作用。信息学竞赛成为五大学科竞赛之一，国家出台许多重要的政策，激起大中小学学生对计算机科学的热爱。但是许多计算机科学爱好者对图论的理论不够系统、算法理解不当、细节掌握不熟、常用技巧不会的问题。而许多培训机构及直播课对此解析不够清晰、完整，本文将探究图论的基础理论与算法原理，并以此为视角，总结经验，发表个人看法，查找图论的实际操作中的现存问题，略析其原因，并且给出相应的解决方法，以供参考。

关键词：图论；并查集；树状数组；最小生成树；最短路；hash；离散化。

二、图论——概念，表示与遍历

1.复习——树的存储

（一）分析

就例如这样的，便是一棵树。（左边是一个普通哥，右边是一个二叉哥）。
既然是一棵树，那么就会有爸爸和儿子。特别地，二叉树有左儿子、右儿子。
那么、我们只需要知道一棵树的爸爸和儿子是谁，我们就可以知道这棵树长什么样子了。
那么，我们来看看这道题目吧！

（二）、CODE：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
int n, b[N];
struct Node {int fa, len, c[6];
}a[N];
void inser(int xx, int yy) {a[xx].fa = yy;a[yy].c[++a[yy].len] = xx;
}
void build() {cin >> n;for (int i = 1;i <= n;i++) {int x, y;scanf("%d%d", &x, &y);inser(x, y);}
}
int main() {build();for (int i = 1;i <= n;i++) {printf("%d:%d\n", i, a[i].fa);if (!a[i].len) {puts("nobody");continue;}sort(a[i].c + 1, a[i].c + a[i].len + 1);for (int j = 1;j <= a[i].len;j++) {printf("%d ", a[i].c[j]);}puts("");}return 0;
}

2.引入

（一）、数据结构的四种形态

$First$ 集合

$Second$ 链表、队列、栈

$Third$ 树

$Fourth$ 图

$Fifth$ 总结

集合：无序、查询方便；但可支持随机访问，效率低下
链表：有序、在特殊情况下十分方便有用，但不支持随机访问。
树：特殊，支持随机访问、查询效率高、但有点难写。
图：等着你来探索。

（二）、图的概念

One 图的图片

不带权图

带权图

Two 图的术语

无向图术语

两个顶点之间如果有边连接，那么就视为两个顶点相邻。
路径：相邻顶点的序列。
圈：起点和终点重合的路径。
连通图：任意两点之间都有路径连接的图。
度：顶点连接的边数叫做这个顶点的度。
树：没有环的连通图。
森林：没有环的非连通图。

有向图术语

特点 ：在有向图中，边是单向的：每条边所连接的两个顶点是一个有序对，他们的邻接性是单向的。

有向环：一条至少含有一条边且起点和终点相同的有向路径。
有向无环图：在图论中，如果一个有向图无法从某个顶点出发经过若干条边回到该点，则这个图是一个有向无环图（DAG图）。

度：一个顶点的入度与出度之和称为该顶点的度。
1）入度：以顶点为弧头的边的数目称为该顶点的入度。
2）出度：以顶点为弧尾的边的数目称为该顶点的出度。
简化一下：
入度 = 有多少条边可以到这个点。
出度 = 这个点可以直接到达其他点的个数。

3.图的储存与表示

（一）、邻接矩阵

$One$ 概念

用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵。邻接矩阵又分为有向图邻接矩阵和无向图邻接矩阵。

$Two$ 例子

$Three$ 使用

初始化

初始化的过程很简单，只需要把数组初始化为 $0$ 即可。可以借助$memset$来快速地将一个数组中的所有元素都初始化为 $0$。

memset(G, 0, sizeof(G));

也可以直接用循环初始化。

for (int i = 1; i <= n; i++) // n 为数组第一维大小for (int j = 1; j <= m; j++) // m 为数组第二维大小G[i][j] = 0;

提示：一般来讲，我们用$G$这个名称来作为图的数组名。

插入边

G[u][v] = 1;
G[v][u] = 1;

访问边

如果 $G[u][v]=1$，说明有一条从 $u$ 到 $v$ 的边，否则没有从 $u$ 到 $v$ 的边。
特殊的，带权图只需将上文的$1$改成权值即可。
同时，在存储带权图时，要注意重边的处理。
可将：

G[u][v] = G[v][u] = w;

改成：

G[u][v] = G[v][u] = max(G[u][v], w);

即可处理重边。

Four 优缺点

1.优点：在表示稠密图时节省空间。
2.缺点：在表示稀疏图时浪费空间和时间。

（二）、邻接表

$One$ 优缺点

1.优点

节省空间：当图的顶点数很多、但是边的数量很少时，如果用邻接矩阵，我们就需要开一个很大的二维数组，最后我们需要存储 $n^2$个数剧。但是用邻接表，最后我们存储的数据量只是边数$m$的两倍。

2.缺点

随机访问效率低。比如，我们需要询问点 $a$ 是否和点 $b$ 相连，我们就要遍历 $G[a]$ ，检查这个 $vector$ 里是否有 $b$。而在邻接矩阵中，只需要根据 $G[a][b]$ 就能判断。

$Two$ 思想

对于图中的每一个顶点，用一个数组来记录这个点和哪些点相连。由于相邻的点会动态的添加，所以对于每个点，我们需要用$vector$来记录。

$Three$ 使用

利用 $vector$ 中的 $push$_$back$ 操作.

G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);

$Four$ 图示

（三）、代码

$First$ 邻接矩阵

#include <bits/sstdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 5;
int n, m, G[N][N];
int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {cin >> u >> v;G[u][v] = G[v][u] = 1;}for (int i = 1;i <= n;i++) {for (int j = 1;j <= n;j++) {cout << G