【电机学复习总结】特殊变压器——三绕组变压器、自耦变压器和互感器

介绍了三绕组变压器、自耦变压器和互感器的基本概念，特殊问题以及注意事项

1 三绕组变压器

定义：在同一铁心柱上绕一个原绕组、两个副绕组或两个原绕组、一个副绕组。具有三个电压等级的变压器是三绕组变压器。

1.1 三绕组变压器结构及特点

高压绕组——最外侧（绝缘要求）
中压、低压绕组——相对位置取决于变压器类型：
升压变压器：中压绕组靠近铁心，低压绕组放中间（为了使磁场分布均匀，漏抗分布合理，保证较好的运行性能）
降压变压器：中压绕组放中间，低压绕组靠近铁心

用途：

1）变电站中利用三绕组变压器由两个系统向一个负载供电。
2）发电厂利用三绕组变压器把发出的电压用两种电压输送到不同的电网。

1.2 三绕组变压器参数

三绕组变压器的容量：
通常以最大的绕组容量命名三绕组变压器的额定容量$S_N$
通常有以下几种容量配合：

注意在计算标幺值时，各绕组须采用相同的容量基值

三绕组变压器的标准联结组：
三相三绕组变压器——YN,yn0,d11；YN,yn0,y0
单相三绕组变压器——I,I0,I0

1.3 三绕组的基本方程、等效电路和相量图

磁动势平衡方程式（忽略励磁电流）：
$${\dot{I}}_1+{\dot{I}}_2^{\prime }+{\dot{I}}_3^{\prime }=0$$
由于一个铁心柱有三个绕组，因此主磁通和漏磁通比较复杂，三绕组变压器负载运行时，由于是三个绕组之间互相耦合，用每—绕组的自感系数和各绕组间的互感系数作为基本参数。令$L_1、L_2、L_3$为各绕组自感系数，$M_{12}＝M_{21}$为1与2绕组间互感系数；$M_{13}＝M_{31}$为1与3绕组间互感系数；$M_{23}＝M_{32}$为绕组2与3间互感系数,可得归算到绕组1的电动势方程：

通过初等变换，将上式线性化，可得：

！注意：三绕组变压器中的电抗都是等效电抗，不是漏抗，但它们具有漏抗的性质，即都为常数。

2 自耦变压器

定义：一次和二次绕组之间既有磁的耦合，又有电的联系的变压器，称为自耦变压器

自耦变压器的绕组由两部分串联构成：
公共绕组——一次和二次边共用的绕组
串联绕组——一次（二次）单独使用的绕组

自耦变压器还可以看作由一台双绕组变压器演变而来：

普通双绕组变压器变比为：$k=\frac{N_1}{N_2}\approx \frac{U_{1N}}{U_{2N}}$
自耦变压器变比为：$k_a=\frac{N_1+N_2}{N_2}=k+1$

2.1 自耦变压器的基本方程式与等效电路

推导：

电流关系：
按照全电流定律，自耦变压器励磁磁动势${\dot{F}}_m$为串联绕组磁动势与公共绕组磁动势之和：
$${\dot{F}}_m={\dot{I}}_{1a}{N}_1+{\dot{I}}_2{N}_2={\dot{I}}_m(N_1+N_2)\text{\hspace{1em}(1)}$$
由中间节点KCL可得：
$${\dot{I}}_{1a}+{\dot{I}}_{2a}={\dot{I}}_2\text{\hspace{1em}(2)}$$
将（2）式带入（1）式：
$${\dot{I}}_{1a}{N}_1+({\dot{I}}_{1a}+{\dot{I}}_{2a})N_2={\dot{I}}_m(N_1+N_2)$$
化简，可得：
$${\dot{I}}_{1a}+\frac{N_2}{N_1+N_2}{\dot{I}}_{2a}={\dot{I}}_m\text{\hspace{1em}(3)}$$
定义：${\dot{I}}_{2a}^{\prime }=\frac{N_2}{N_1+N_2}{\dot{I}}_{2a}=\frac{1}{k_a}{\dot{I}}_{2a}$，带入（3）式，可得：
$${\dot{I}}_{1a}+{\dot{I}}_{2a}^{\prime }={\dot{I}}_m\text{\hspace{1em}(4)}$$
忽略励磁支路，即${\dot{I}}_m\approx 0$,可得：
$${\dot{I}}_{1a}+{\dot{I}}_{2a}^{\prime }=0$$
即：
$${\dot{I}}_{1a}=-{\dot{I}}_{2a}^{\prime }=-\frac{{\dot{I}}_{2a}}{k_a}\text{\hspace{1em}(5)}$$
将（5）式带入（2）式，可得：
$${\dot{I}}_2={\dot{I}}_{1a}+{\dot{I}}_{2a}={\dot{I}}_{1a}+(-k_a{\dot{I}}_{1a})=(1-k_a){\dot{I}}_{1a}=-\frac{1-k_a}{k_a}{\dot{I}}_{2a}$$
即：
$${\dot{I}}_2=(1-k_a){\dot{I}}_{1a}=(1-\frac{1}{k_a}){\dot{I}}_{2a}\text{\hspace{1em}(6)}$$
（5）式 和 （6）式 分别为一次绕组和二次绕组电流关系以及公共绕组与一次、二次绕组电流的关系

电压关系：——原则：不出现公共绕组的量
由公共绕组电压降关系可得：
$${\dot{U}}_{2a}={\dot{E}}_2-{\dot{I}}_2{Z}_{ax}$$
带入（6）式，用${\dot{I}}_{2a}$消去${\dot{I}}_2$可得：
$${\dot{U}}_{2a}={\dot{E}}_2-(1-\frac{1}{k_a}){\dot{I}}_{2a}{Z}_{ax}\text{\hspace{1em}(7)}$$
同时，通过等效电路可得：
$${\dot{U}}_{2a}={\dot{I}}_{2a}{Z}_L\text{\hspace{1em}(8)}$$
由串联绕组和公共绕组电压降关系可得：
$${\dot{U}}_{1a}=-({\dot{E}}_2+{\dot{E}}_2)+{\dot{I}}_{1a}{Z}_{Aa}+{\dot{I}}_2{Z}_{ax}$$
且：
$${\dot{E}}_2+{\dot{E}}_2=k_a{\dot{E}}_2=k_a({\dot{U}}_{2a}+(1-k_a){\dot{I}}_{1a}{Z}_{ax})\text{\hspace{1em}(9)}$$
带入（6）式、（9）式，用${\dot{I}}_{1a}$消去${\dot{I}}_2$：
定义：自耦变压器从高压边看的短路阻抗$Z_{ka}$
$$Z_{ka}=Z_{Aa}+(k_a-1{)}^2{Z}_{ax}$$
$${\dot{U}}_{1a}=-k_a{\dot{U}}_{2a}^{\prime }+{\dot{I}}_{1a}{Z}_{ka}\text{\hspace{1em}(10)}$$
（7）式、（8）式 和 （10）式 分别为一次绕组和二次绕组及它们之间的电压关系

2.1.1 基本方程式

$$\{\begin{array}{l}{\dot{U}}_{1a}=-k_a{\dot{U}}_{2a}+{\dot{I}}_{1a}{Z}_{ka}\\ {\dot{U}}_{2a}={\dot{E}}_2-(1-\frac{1}{k_a}){\dot{I}}_{2a}{Z}_{ax}\\ {\dot{U}}_{2a}={\dot{I}}_{2a}{Z}_L\\ {\dot{I}}_2=(1-k_a){\dot{I}}_{1a}=(1-\frac{1}{k_a}){\dot{I}}_{2a}\\ {\dot{I}}_{1a}=-\frac{{\dot{I}}_{2a}}{k_a}\text{ （忽略励磁电流）}\\ {\dot{E}}_1=\frac{N_1}{N_2}{\dot{E}}_2=\frac{N_1+N_2-N_2}{N_2}=(k_a-1){\dot{E}}_2\\ {\dot{E}}_1=-j4.44f{N}_1{\dot{\Phi }}_m\end{array}$$

2.1.2 等效电路

2.2 自耦变压器的容量关系

自耦变压器的 额定容量（通过容量） 和 绕组容量（电磁容量） 是不相等的。
定义：自耦变压器的效益系数$k_{xy}$
$$k_{xy}=1-\frac{1}{k_a}$$
通过容量$S_{aN}$——自耦变压器总的输入或输出容量
$$S_{aN}=U_{1aN}{I}_{1aN}=U_{2aN}{I}_{2aN}$$
电磁容量$S$——绕组上电压与电流的乘积
串联绕组Aa的电磁容量：
$$S_{Aa}=U_{Aa}{I}_{1aN}\approx \frac{N_1}{N_1+N_2}{U}_{1aN}{I}_{1aN}=k_{xy}{S}_{aN}$$
公共绕组ax的电磁容量：
$$S_{ax}=U_{ax}{I}_{2N}=(1-\frac{1}{k_a})U_{2aN}{I}_{2aN}=k_{xy}{S}_{aN}$$
由于$k_a=1+k>1$，故$k_{x}y=1-\frac{1}{k_a}<1$
因此，自耦变压器电磁容量总是小于通过容量（一般双绕组变压器电磁容量等于通过容量）

自耦变压器容量构成分析

首先明确自耦变压器中三个电流$I_{1a}、I_{2a}、I_2$的方向关系：
$${\dot{I}}_{1a}{N}_1+{\dot{I}}_2{N}_2=0\Rightarrow {\dot{I}}_2=-k{\dot{I}}_{1a}$$
$$\Rightarrow 当{\dot{I}}_{1a}>0时，{\dot{I}}_2<0\Rightarrow 电流从A、X节点流向a节点：I_{2a}=I_{1a}+I_2$$

因此自耦变压器的通过容量可做如下分解：
$$S_{aN}=U_{2a}{I}_{2a}=U_{2a}(I_{1a}+I_2)=U_{2a}{I}_{1a}+U_{2a}{I}_2=S_{传导}+S_{电磁}$$
$$\{\begin{array}{l}{S}_{传导}=U_{2a}{I}_{1a}=\frac{1}{k_a}{U}_{2a}{I}_{2a}=\frac{1}{k_a}{S}_{2a}\\ S_{电磁}=U_{2a}{I}_2=(1-\frac{1}{k_a})U_{2a}{I}_{2a}=(1-\frac{1}{k_a})S_{2a}\end{array}$$
电磁容量——通过绕组Aa和ax之间电磁感应传递
传导容量——一次绕组电流$I_{1a}$通过传到直接到达负载（这部分功率双绕组变压器没有）

2.3 自耦变压器的短路阻抗

自耦变压器短路阻抗的测取——短路试验
测自耦变压器从高压边看的短路阻抗$Z_{ka}$——副边ax短接，原边AX加电压
相当于将电压$U_k$加到了绕组Aa上（b）
因此，该阻抗可看作把绕组Aa作为原边，ax作为副边的双绕组变压器副边短路时测得的阻抗（c）

由变压器归算关系可得：
$$Z_{ka}=Z_{Aa}+(\frac{N_1}{N_2}{)}^2{Z}_{ax}=Z_k$$
其中

$Z_{Aa}、Z_{ax}$分别为绕组Aa和ax的漏抗
$Z_k$是将Aa作为原边和ax作为副边的双绕组变压器的短路阻抗

$Z_k$和$Z_{ka}$的有名值相同，但是阻抗基值不同，因此标幺值不同：
$$\{\begin{array}{l}{Z}_{ka}^{\ast }=\frac{I_{1aN}{Z}_{ka}}{U_{1N}}=\frac{I_{1aN}{Z}_{ka}}{U_{Ax}}\\ Z_k^{\ast }=\frac{I_{1aN}{Z}_k}{U_{Aa}}\end{array}$$
易知：
$$Z_{ka}^{\ast }=k_{xy}{Z}_k^{\ast }$$
即一台短路阻抗标幺值为$Z_k^{\ast }$的变压器改为自耦变压器后，其短路阻抗标幺值减小至原来的$k_{xy}$倍
要注意！以上关系只有在高压边做短路试验时才存在！！！
要注意！以上关系只有在高压边做短路试验时才存在！！！
要注意！以上关系只有在高压边做短路试验时才存在！！！

测自耦变压器从低压边看的短路阻抗$Z_{ka}^{\prime }$——原边AX短接，副边ax加电压

从（a）很容易看出短路阻抗为$Z_{Aa}、Z_{ax}$进行归算后并联的值：
$$Z_{ka}^{\prime }=\frac{1}{k_a^2}[Z_{Aa}+(k_a-1{)}^2{Z}_{ax}]$$
很显然，如果按照（c）看作原绕组为ax，副绕组为Aa的双绕组变压器进行短路试验结果为：
$$Z_k^{\prime }=Z_{ax}+(\frac{1}{k}{)}^2{Z}_{Aa}=Z_{ax}+(\frac{1}{k_a-1}{)}^2{Z}_{Aa}$$
即：
$$Z_k^{\prime }=(\frac{1}{k_a-1}{)}^2(Z_{Aa}+(k_a-1{)}^2{Z}_{ax})$$
很显然，$Z_k^{\prime }$和$Z_{ka}^{\prime }$的有名值不同：
$$Z_{ka}^{\prime }=k_{xy}^2{Z}_k^{\prime }$$
再看标幺值：
$$\{\begin{array}{l}{Z}_{ka}^{\prime \ast }=\frac{I_{2aN}{Z}_{ka}^{\prime }}{U_{2N}}\\ Z_k^{\prime \ast }=\frac{I_{2N}{Z}_k^{\prime }}{U_{2N}}\end{array}$$
易知：
$$Z_{ka}^{\prime \ast }=k_{xy}{Z}_k^{\prime \ast }$$

因此，自耦变压器短路阻抗标幺值不论从低压侧还是高压侧看都一样
自耦变压器的短路阻抗标幺值为该变压器作双绕组变压器时的短路阻抗标幺值的$k_{xy}(k_{xy}<1)$倍
因此近似认为自耦变压器的电压调整率较小，短路电流较大。

$\Delta U=(\beta r_k^{\ast }\cos {\phi }_2+\beta x_k^{\ast }\sin {\phi }_2)\times 100\%$$\Rightarrow$$\Delta U\propto Z_{ka}^{\ast }$
$I_k\propto \frac{1}{Z_{ka}^{\ast }}$

2.4 自耦变压器与双绕组变压器比较

自耦变压器与普通双绕组变压器比较

1）在变压器额定容量（通过容量）相同时，自耦变压器的绕组容量（电磁容量）小于双绕组变压器。
将双绕组变压器改装成自耦变压器，双绕组变压器的额定容量，亦即其电磁容量，等于自耦变压器的电磁容量；
双绕姐变压器的额定容量小于自耦变压器。

2）变压器硅钢片和铜线的用量与绕组的额定感应电动势和通过的额定电流有关，也就是和绕组容量有关，现在自耦变压器的绕组容量减小了，当然所用的材料也少了，从而可以降低成本

3）由于铜线和硅钢片用量减少，在同样的电流密度和磁通密度下，自耦变压器的铜耗和铁耗以及激磁电流都比较小，从而提高了效率

4）由于铜线和硅钢片用量减少，自耦变压器的重量及外形尺寸都较双绕组变压器小，即减小了变电所的厂房面积和减少了运输和安装的困难；反过来说，在运输条件有一定限制的条件下，即变压器的外形尺寸有一定限制的条件下，自耦变压器的容量可以比双绕组变压器的大，即提高了变压器的极限容量

5）效益系数$k_{xy}$越小，上述优点就越显著，自耦变压器的变比越接近1就越好，一般以不超过2为宜，如果变比太大，高、低压相差悬殊，由于原、副边有电路上的连接，低压边的绝缘及安全用电有一定的困难，自耦变压器适用于原、副边电压变比不大的场合。

6）自耦变压器原、副边有电的联系，因此三相自耦变压器中点必须可靠接地（防止高压边单相接地引起低压边过电压）

7）自耦变压器短路阻抗标幺值小，短路电流大，运行中要采取措施限制短路电流

2.5 自耦变压器的应用

主要使用在高压电力系统中两个电压等级相差不大的电网上；小容量自耦变压器也被用作实验室中调压设备

3 仪用互感器

互感器是一种测量用设备，分为电流互感器与电压互感器。它们的工作原理与变压器相同。
使用互感器的好处如下：

1、测量回路与高压电网隔离，保证工作人员安全
2、使用小量程电流表测大电流，使用小量程电压表测量高电压。

互感器副边标准：
电流互感器——5A或1A
电压互感器——100V

3.1 电压互感器

电压互感器副边接入电压表或功率表，内阻较大，相当于变压器空载运行
电压互感器要求误差小——漏阻抗$Z_1、Z_2^{\prime }$越小越好
这就要求选用性能较好的硅钢片制作铁心，并使铁心不饱和
当忽略漏阻抗时：
$$\frac{U_1}{U_2}=\frac{N_1}{N}$$

使用注意事项：
1、电压互感器副边不能短路，否则会产生很大的短路电流。
2、为安全起见，电压互感器的副边必须可靠接地。

3.2 电流互感器

电流互感器副边接入电流表，内阻较小，相当于变压器短路运行
电流互感器要求误差小——励磁电流${\dot{I}}_m$越小越好（${\dot{I}}_1={\dot{I}}_m+(-{\dot{I}}_2^{\prime })\Rightarrow {\dot{I}}_1\approx (-{\dot{I}}_2^{\prime }$)）
这就要求了励磁支路激磁阻抗越大越好，因此电流互感器铁心磁密较低，此时可忽略励磁支路：
$$\frac{I_1}{I_2}=\frac{N_2}{N_1}$$

使用注意事项：
1、为了使用安全，电流互感器的副边必须可靠的接地，以防止由于绝缘损坏后，原边的高压传到副边，发生人身事故。
2、电流互感器的副边绝对不容许开路。
因为副边开路时，互感器成为空载运行，此时，原边被测线路电流成了激磁电流，使铁心内的磁密比额定情况增加许多倍。它一方面将使副边感应出很高的电压，可能使绝缘击穿。同时对测量人员也很危险；另一方面，铁心内磁密增大以后，铁耗会大大增加，使铁心过热，影响电流互感器的性能，甚至把它烧坏。