第六章图（下）【图的应用，重难点】

本文主要是介绍第六章图（下）【图的应用，重难点】，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. 最小生成树

1.1 最小生成树的概念

生成树：连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。若图中顶点数为 n，则它的生成树含有 n-1 条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。

最⼩⽣成树（最⼩代价树）：对于一个带权连通无向图 $G =(V,E)$ ，生成树不同，每棵树的权(即树中所有边上的权值之和)也可能不同。设R为G的所有生成树的集合，若T为R中边的权值之和最小的生成树，则T称为G的最小生成树(Minimum-Spannino-Tree,MST).。

最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一且最小的。
最小生成树的边数 =顶点数 -1。砍掉一条则不连通，增加一条边则会出现回路。
如果一个连通图本身就是一棵树，则其最小生成树就是它本身。
只有连通图才有生成树，非连通图只有生成森林。

求最小生成树的两种方法

1.2 Prim算法(普里姆)：

从某一个顶点开始构建生成树;每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止。时间复杂度: O(V2)适合用于边稠密图。核心思想：贪心算法

同一顶点开始生成的最小生成树可能也不一样，但是最小代价是一样的

算法实现：

Prim 算法的实现思想:

1.初始：从V0开始,标记各节点是否已加⼊树isJoin,各节点加⼊树的最低代价,lowCost

2. 第1轮：循环遍历所有个结点，找到lowCost最低的，且还没加⼊树的顶点将该顶点加入树，再次循环遍历，更新还没加⼊的各个顶点的lowCost值

3. 重复1，2，从V0开始，总共需要 n-1 轮处理，每⼀轮处理：循环遍历所有个结点，找到lowCost最低的，且还没加⼊树的顶点。再次循环遍历，更新还没加⼊的各个顶点的lowCost值，

每⼀轮时间复杂度O(2n)，总时间复杂度 O(n2)，即O(|V|2)

void Prim(G, T)
{// T为空；// U = {w};while((V-U)! = NULL){设(u,v)为让u属于U，v属于(V-U)对最短边T = T U {(u,v)};    //边入树U = U U {v};        //顶点入树}
}//辅助数组：
isJoin[vexNum];    //标记各节点是否已加入树
lowCost[vexNum];    //各节点加入树的最小代价 != 权值，每次并入新节点后都需要更新

1.3 Kruskal算法(克鲁斯卡尔)：

每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头连通(原本已经连通的就不选)直到所有结点都连通。时间复杂度: O(|E|log|E|)适合用于边稀疏图。

算法实现：

1. 初始：将各条边按权值排序

2.第1轮：检查第1条边的两个顶点是否连通（是否属于同⼀个集合）不连通，则连起来

2.第i轮：检查第i条边的两个顶点是否连通（是否属于同⼀个集合）不连通，则连起来,已连通，则跳过

共执⾏ e 轮，每轮判断两个顶点是否属于同⼀集合，需要 O(log2e) 总时间复杂度 O(elog2e)

void Kruskal(v, T)
{T = v;numS = n;    //连通分量数while(numS>1){从E中选取权值最小的边(u,v);if(v和u属于不同连通分量){T = T U {(v,u)};    //边入树numS--;}}
}

2. 最短路径问题

2.1 无权图的单源最短路径问题——BFS算法

⽆权图可以视为⼀种特殊的带权图，只是每条边的权值都为1

从2出发寻找无权图的单源最短路径

算法实现：

使用 BFS算法求无权图的最短路径问题，需要使用三个数组

d[]数组用于记录顶点 u 到其他顶点的最短路径。
path[]数组用于记录最短路径从那个顶点过来。

visited[]数组用于记录是否被访问过。

在visit⼀个顶点时，修改其最短路径⻓度 d[ ] 并在 path[ ] 记录前驱结点

代码实现：

#define MAX_LENGTH 2147483647			//地图中最大距离，表示正无穷// 求顶点u到其他顶点的最短路径
void BFS_MIN_Disrance(Graph G,int u){for(i=0; i<G.vexnum; i++){visited[i]=FALSE;				//初始化访问标记数组d[i]=MAX_LENGTH;				//初始化路径长度path[i]=-1;						//初始化最短路径记录}InitQueue(Q);						//初始化辅助队列d[u]=0;visites[u]=TRUE;EnQueue(Q,u);while(!isEmpty[Q]){					//BFS算法主过程DeQueue(Q,u);					//队头元素出队并赋给ufor(w=FirstNeighbor(G,u);w>=0;w=NextNeighbor(G,u,w)){if(!visited[w]){d[w]=d[u]+1;path[w]=u;visited[w]=TRUE;EnQueue(Q,w);			//顶点w入队}}}
}

2.2 带权图的单源最短路径问题——Dijkstra算法

算法实现：

使用 Dijkstra算法求最短路径问题，需要使用三个数组：

final[]数组用于标记各顶点是否已找到最短路径。
dist[]数组用于记录各顶点到源顶点的最短路径长度。
path[]数组用于记录各顶点现在最短路径上的前驱。

1. 初始：从V0开始，初始化三个数组信息

2. 第1轮：循环遍历所有结点，找到还没确定最短路径，且dist 最⼩的顶点Vi，令final[i]=ture，检查所有邻接⾃ Vi 的顶点，若其 final 值为false，则更新 dist 和 path 信息

3.重复过程2，n-1轮处理，直到所有顶点的final 值为true.并更新完成

4. 使⽤数组信息

代码实现：

#define MAX_LENGTH = 2147483647;// 求顶点u到其他顶点的最短路径
void BFS_MIN_Disrance(Graph G,int u){for(int i=0; i<G.vexnum; i++){		//初始化数组final[i]=FALSE;dist[i]=G.edge[u][i];if(G.edge[u][i]==MAX_LENGTH || G.edge[u][i] == 0)path[i]=-1;elsepath[i]=u;final[u]=TREE;}for(int i=0; i<G.vexnum; i++){int MIN=MAX_LENGTH;int v;// 循环遍历所有结点，找到还没确定最短路径，且dist最⼩的顶点vfor(int j=0; j<G.vexnum; j++){if(final[j]!=TREE && dist[j]<MIN){MIN = dist[j];v = j;}}final[v]=TREE;// 检查所有邻接⾃v的顶点路径长度是否最短for(int j=0; j<G.vexnum; j++){if(final[j]!=TREE && dist[j]>dist[v]+G.edge[v][j]){dist[j] = dist[v]+G.edge[v][j];path[j] = v;}}}
}

时间复杂度： O(n2)即O(|V|2)

2.3 各顶点间的最短路径问题——Floyd算法

2.3.1 Floyd算法基本思想：

求出每⼀对顶点之间的最短路径，使⽤动态规划思想，将问题的求解分为多个阶段。

2.3.2 Floyd算法应用范围

可以⽤于负权值带权图，但是不能解决带有“负权回路”的图（有负权值的边组成回路），这种图有可能没有最短路径。

算法实现：

Floyd算法使用到两个矩阵：
1. dist[][]：目前各顶点间的最短路径。
2. path[][]：两个顶点之间的中转点。

递推一个n阶方阵序列 $A^{-1}$ ， $A^{0}$ ，...， $A^{k}$ ，...， $A^{n-1}$ ，其中 $A^{k}$ [i][j]表示从顶点vi到vj的长度，k表示绕行第k个顶点的运算步骤，利用 $path^{k}$ 记录节点的中转情况。

步骤：①初始时若v0到vi之间有边，则记录其最短路径为该边权值，若不存在则记∞

②尝试允许经过v0顶点中转，更新顶点间最短路径

③依此尝试允许经过v1，v2，...，vk顶点中转，并不断更新最短路径,，直到允许v(n-1)顶点都经过中转，方阵 [i][j] = Min{[i][j] , [i][k]+[k][j]}

④经过n次迭代，最终[i][j]就是vi到vj的最短路径长度

代码实现：

//初始化矩阵A和path
...
for(int k=0; k<n; k++)
{for(int i=0; i<n; i++){for(int j=0; j<n; j++){if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]){A[i][j] = A[i][k]+A[k][j];    //更新最短路径长度path[i][j] = k;               //中转点}}}
}

算法分析：时间复杂度——O( $|V|^{3}$ )，空间复杂度——O( $|V|^{2}$ )