本文主要是介绍uva106 - Fermat vs. Pythagoras()，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
这道题暴力果断的不行啊，
n会到达10^2,如果暴力的话，复杂度怎么也得O(n*n).
所以我们压根就不能对a,b,c中的任何数暴力，
但这里有个公式，我也是做了这道题才知道的。
(r*r-s*s)^2+(2*r*s)^2 = (r*r+s*s)^2; 我们只要枚举r和s即可。
效率大大提高了，
下面给出一位大神的证明：
[解题方法]
该题可以归结为数论问题。
若是用穷举法生成 1000000 以内所有的勾股数，会超时，故需要考虑其他方法。如果方程有一个通解，那
么根据通解生成 x，y，z，肯定方便得多，有没有这样的通解公式呢，答案是肯定的，推导如下：
本题的要求是当 x，y，z ∈ N，给定一个数 n，找出所有的 x，y，z ≤ n，使得 x² + y² = z² 成立。
先假定 x，y，z 互质，若不互质，则可设 x = w * x0，y = w * y0，z = w * z0，将其转化为互
质的情形后讨论。由于 x，y，z 互质，故 x，y 中至少有一个是奇数。下面用反证法证明 x 和 y 中有
且只有一个奇数。假定 x，y 都为奇数，设：
x = 2 * a + 1
y = 2 * b + 1
x² + y² = (2 * a + 1)² + (2 * b + 1)² = 4(a² + b² + a + b) + 2 = z²
则 z² 是偶数，若 z² 为偶数，则 z 必为偶数，那么 z² 必能被 4 整除，与上式矛盾，因此 x，y 中
只有一个奇数。
假设 x 为奇数，y 为偶数，由于奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，和 z² 必为奇数，则 z 为奇数。
那么 z + x 和 z - x 都是偶数，不妨设 z + x = 2u，z - x = 2v（这是费马提到的一种方法），
解得：
z = u + v
x = u - v
而且由于 x，y，z 互质，则 u，v 也必定互质，若不互质，则可设 u = w * u0，v = w * v0，则
z 和 x 有大于 1 的公约数 w，与前提条件矛盾。给原方程两边同除以 4 得：
x² / 4 + y² / 4 = z² / 4
然后移项: (y / 2)² = (z / 2)² - (x / 2)²
右边是个平方差公式：
(z / 2)² - (x / 2)² = (z + x) / 2 * (z - x) / 2
然后把刚才的 u，v 代入上式：
(z + x) / 2 * (z - x) / 2 = (2 u / 2) * (2 v / 2) = u * v
也就是说 (y / 2)² = u * v，说明 u * v 是一个平方数，又因为 u，v 互质，所以 u 和 v 本身
都是平方数（为什么？a 和 b 互质，a * b 为完全平方数，设 a * b = u²，则由于(a，b) = 1，
所以 a = a * (a，b) = (a²，a * b) = (a²，u²) = (a，u)²，同理 b = (b，u)²）。
那么，设 u = a²，v = b²，则 a，b 同样也是一奇一偶，互质的两个数（为什么？因为 u 和 v 互质，
则必有一个奇数，又由于 y 为偶数，则 u 和 v 不能同为奇数，故必是一奇一偶。由于奇数的平方是奇数，
偶数的平方是偶数，则 a 和 b 也是一奇一偶，若 a 和 b 不互质，可推出 u 和 v 不互质，矛盾）。
从刚才的 (y / 2)² = u * v，代入 a，b 解出 (y / 2)² = a² * b²，y / 2 = a * b，y =
2 * a * b。y 解出，将 a，b 代入 x，z 得：
x = u - v = a² - b²
z = u + v = a² + b²
综上所述，可得到下式：
x = a² - b²， y = 2 * a * b， z = a² + b²，(a 与 b 互质，a > b，且一奇一偶)。
题目要求统计 (x，y，z) 三元组的数量时只统计 x，y 和 z 两两互质的的情况，这个问题用上面的
算法就可以解决了。但对于统计 p 的数量，题目并不限定三元组是两两互质的。上式不能生成所有的勾股数。
但所有非两两互质的 x0，y0，z0 都可由一组互质的 x，y，z 乘以系数得到。
代码如下：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define M 1000010
bool vis[M];
int gcd(int x, int y)
{if(y==0) return x;return gcd(y,x%y);
}
int main ()
{int n, a, b, c, ans1, ans2;while(~scanf("%d",&n)){memset(vis,0,sizeof(vis));ans1 = ans2 = 0;int len = (int)sqrt((double)n+0.5);for(int s = 1; s <= len; s++)for(int r = s+1; r <= len; r+=2){if(gcd(r,s)!=1) continue;c = r*r+s*s;if(c>n) break;b = 2*r*s;a = r*r-s*s;ans1++;for(int i = 1; i*c<=n; i++){vis[a*i] = vis[b*i] = vis[c*i] = 1;}}for(int i = 1; i <= n; i++) if(vis[i]==0)ans2++;printf("%d %d\n",ans1,ans2);}return 0;
}这篇关于uva106 - Fermat vs. Pythagoras()的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
