统计_三门问题：贝叶斯解答

本文主要是介绍统计_三门问题：贝叶斯解答，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

一、三门问题

“假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？”

二、问题简化

定义：

Y为事件：门后面有车
X为事件：选择一个门
Z为事件：主持人打开一扇门
1号门：A;2号门：B; 3号门：C;

这时候能将问题描述为下述符号：
P(Y=A | X=A, Z = C) （即，你选择一号门，主持人打开三号门，那么车在一号门后面的概率）
是否大于
P(Y=B | X=A, Z =C) （即，你选择一号门，主持人打开三号门，那么车在二号门后面的概率）

三、问题解答

显然 $P(X)=1/3$ , $P(Y)=1/3$；
因为主持人知道门后面是什么 ，所以 P(Z = “三号门”) 的概率是依据剩下两个门后面是否有车所决定的。
$P(Z=C|Y=A)=1/2$
$P(Z=C|Y=B)=1$
$P(Z=C|Y=C)=0$
$P(Z=C)=(1/2+1+0)/3=1/2$

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• 贝叶斯公式转化
  $P(Y=A|X=A,Z=C)=\frac{P(X=A,Z=C|Y=A)P(Y=A)}{P(X=A,Z=C)}$

因为：
$P(X=A,Z=C|Y=A)=P(X=A|Y=A)\ast P(Z=C|Y=A)=1/3\ast 1/2=1/6$

$P(X=A,Z=C)=P(X=A)\ast P(Z=C)=1/3\ast 1/2=1/6$

所以：
$P(Y=A|X=A,Z=C)=\frac{1/6\ast 1/3}{1/6}=1/3$

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• 贝叶斯公式转化
  $P(Y=B|X=A,Z=C)=\frac{P(X=A,Z=C|Y=B)P(Y=B)}{P(X=A,Z=C)}$

因为：
$P(X=A,Z=C|Y=B)=P(X=A|Y=B)\ast P(Z=C|Y=B)=1/3\ast 1=1/3$

$P(X=A,Z=C)=P(X=A)\ast P(Z=C)=1/3\ast 1/2=1/6$

所以：
$P(Y=B|X=A,Z=C)=\frac{1/3\ast 1/3}{1/6}=2/3$

结论

选择换门
因为：
P(Y=B | X=A, Z = C)=2/3 > P(Y=A | X=A, Z = C)=1/3
所以：
你选择一号门，主持人打开三号门，那么车在二号门后面的概率

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