「题解」 [CQOI2018]破解D-H协议

前言

人生中第一道紫题，写一篇题解纪念一下。

BSGS

BSGS（拔山盖世，北上广深 ）是什么呢？

它是一种能够在$O(\sqrt{n})$的时间复杂度内求解类似于$a^x\equiv b(\mathrm{mod}p)$的算法。

首先，我们设$x=i\sqrt{p}-j$，其中$i,j\in [0,\sqrt{p}]$

那么这个式子就变成了$$a^{i\sqrt{p}-j}\equiv b(\mathrm{mod}p)$$

两边同时乘上$a^j$，很显然，等式变成了

$$a^{i\sqrt{p}}\equiv b{a}^j(\mathrm{mod}p)$$

到了这一步，我们就可以先枚举$j$，每次把$b{a}^j\mathrm{mod}p$存入哈希表。

然后再枚举$i$，在哈希表中查找$a^{i\sqrt{p}}$，如果找到了，就说明这个等式成立，$x$就应该是$i\sqrt{p}-j$，如果枚举完了也没找着，就说说明这个等式不成立。

在这个过程中，我们仅仅枚举了两次，时间复杂度只有区区的$O(\sqrt{n})$

题目大意

看起来这个题目很复杂，但其实就是一个BSGS的模板。

简化一下题意，题目告诉你$g^a\mathrm{mod}p$和 $g^b\mathrm{mod}p$，让你求$g^{ab}\mathrm{mod}p$。

观察一下，我们发现
$$g^{ab}\mathrm{mod}p$$$$=(g^a{)}^b\mathrm{mod}p$$ $$=(g^a\mathrm{mod}p{)}^b\mathrm{mod}p$$$$=A^b\mathrm{mod}p$$

也就是说，只要我们把$b$求出来，那就万事大吉了。

那么如何求$b$呢？

观察发现：

$$B=g^b\mathrm{mod}P$$ $$B\equiv g^b(\mathrm{mod}P)$$ $$g^b\equiv B(\mathrm{mod}P)$$

这不就是BSGS的模板吗？

我们可以用BSGS求出$b$，然后把用$b$求出$A^b\mathrm{mod}p$。

有了这个思路，我们就可以开始写代码了！

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int g,n,p;//在最开始就定义三个全局变量
int qpow(int a,int b){//快速幂模板int res=1;while(b){if(b&1) res=(a*res)%p;a=(a*a)%p;b>>=1;}return res;
}
int BSGS(int b){map<int,int>m;//哈希表可以用map代替int t=ceil(sqrt(p));//记得要向上取整for(int i=1;i<=t;i++) m[b*qpow(g,i)%p]=i;//枚举j，存入哈希表中for(int i=1;i<=t;i++){int k=qpow(g,i*t)%p;if(m[k]) return i*t-m[k];//如果在哈希表中找到了这个值，就说明找到了b}return -1;//如果没有找到，就说明无解
}int main(){cin>>g>>p>>n;for(int i=1;i<=n;i++){int A,B;cin>>A>>B;int b=BSGS(B);//用BSGS求出bcout<<qpow(A,b)%p<<endl;//用快速幂求出K}return 0;
}

如果把这份代码提交到洛谷上，那么就会出现

万紫千红的场面。

我们可以尝试着开longlong。

#define int long long

提交后发现

WA没了，就变成了tle。

我们可以使用printf和scanf。

优化了却没有完全优化。

抱着侥幸的心理，我开了O2，结果发现。

这玄学的数据！

完整代码（记得开O2）：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int g,n,p;//在最开始就定义三个全局变量
int qpow(int a,int b){//快速幂模板int res=1;while(b){if(b&1) res=(a*res)%p;a=(a*a)%p;b>>=1;}return res;
}
int BSGS(int b){map<int,int>m;//哈希表可以用map代替int t=ceil(sqrt(p));//记得要向上取整for(int i=1;i<=t;i++) m[b*qpow(g,i)%p]=i;//枚举j，存入哈希表中for(int i=1;i<=t;i++){int k=qpow(g,i*t)%p;if(m[k]) return i*t-m[k];//如果在哈希表中找到了这个值，就说明找到了b}return -1;//如果没有找到，就说明无解
}signed main(){scanf("%lld%lld%lld",&g,&p,&n);for(int i=1;i<=n;i++){int A,B;scanf("%lld%lld",&A,&B);int b=BSGS(B);//用BSGS求出bprintf("%lld\n",qpow(A,b)%p);//用快速幂求出K}return 0;
}