西电计科院大学物理二期中复习笔记

大学物理二期中复习笔记

博主是21级计科院的，大学物理二97分，这是期中复习期间整理的笔记，基本全部涵盖期中考试重点范围，有需要的学弟学妹可以作为参考
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第一章 静电场

第一讲 库仑定律

库仑定理——（真空静止点电荷）

$$F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}{\mathbf{r}}^0\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中真空介电常数 ${\epsilon }_0\approx 8.85\times 10^{-12}{C}^2{N}^{-1}{m}^{-2}$，令 $k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$ 则 $k\approx 9\times 10^{9}N{m}^2/C^2$，矢量 ${\mathbf{r}}^0$ 由施力电荷指向受力电荷

第二讲 电场强度$E$

2.1 电场强度

$$E=\frac{F}{q_0}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}{\mathbf{r}}^0\text{\hspace{1em}(2)}$$

2.2 均匀带电细圆环

圆环轴线上一点$P$的电场强度：
$$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qx}{(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中，$x$表示$P$点到圆环中心$O$的距离，$R$表示圆环半径，$q$表示圆环带电量；

2.3 有限长直线段

直线外一点$P$电场强度：
$$\begin{gathered} E_x=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}a}(cos{\theta }_1-cos{\theta }_2) \\ {E}_y=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}a}(sin{\theta }_2-sin{\theta }_1)\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$

注：在建立坐标系的情况下，上式均带有方向，其中沿 $y$ 轴正向：${\theta }_1\to {\theta }_2$，$\theta$ 为与 $y$ 轴正向夹角；
其中，$a$表示$P$点到直线的垂直距离；

2.4 均匀带电无限长直线

由 $2.4$ 推得：令${\theta }_1=0,{\theta }_2=\pi$
$$E_x=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}a},E_y=0\text{\hspace{1em}(5)}$$

2.5 均匀带电无限大平面

$$E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\text{\hspace{1em}(6)}$$

2.6 无限大均匀带异号电荷平板间

$$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中，$\sigma$表示每个平板的电荷面密度；

2.7 电偶极子

电偶极矩：$\mathbf{p}=q\mathbf{l}$
中垂线上一点$P$场强：
$$E=-\frac{\mathbf{p}}{4\pi {\epsilon }_0{y}^3}(y\gg l)\text{\hspace{1em}(8)}$$
共线上一点$P$场强：
$$E=\frac{2\mathbf{p}}{4\pi {\epsilon }_0{x}^3}(x\gg l)\text{\hspace{1em}(9)}$$
其中$\mathbf{l}$方向由负电荷指向正电荷；

2.8 力偶矩

电偶极子在匀强电场中得力偶矩：
$$\begin{gathered} {\mathbf{F}}_{+}=q\mathbf{E},{\mathbf{F}}_{-}=-q\mathbf{E} \\ M=F_{+}\cdot \frac{1}{2}lsin\theta +F_{-}\cdot \frac{1}{2}lsin\theta =qlEsin\theta \\ \Rightarrow \mathbf{M}=q\mathbf{l}\times \mathbf{E}=\mathbf{p}\times \mathbf{E}\text{\hspace{1em}(10)} \end{gathered}$$
注：电偶极子在电场的作用下总要使 $\mathbf{p}$ 转向 $\mathbf{E}$ 的方向；

第三讲 电通量 $★$高斯定理

3.1 电通量

$${\Phi }_e={\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}\text{\hspace{1em}(11)}$$

3.2 高斯定理

选定高斯面后，电通量：
$${\Phi }_e={\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum _{(内)}{q}_i\text{\hspace{1em}(12)}$$

3.3 轴对称性电场

无限长均匀带电直线外一点$P$场强：
$$\begin{gathered} {\Phi }_e=\mathbf{E}{\oint }_{侧}d\mathbf{S}=2\pi rEl=\frac{1}{{\epsilon }_0}\lambda l \\ \Rightarrow E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\text{\hspace{1em}(13)} \end{gathered}$$
其中，$r$表示$P$距离导线垂直距离；

3.4 球面对称性电场

均匀带电球面电场分布：
$$\begin{gathered} {\Phi }_e=\mathbf{E}{\oint }_S\mathbf{S}=E\cdot 4\pi r^2=\sum _{(内)}{q}_i=q \\ \Rightarrow E=\{\begin{array}{lc}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}{\mathbf{r}}^0& (r>R)\\ 0& (r<R)\end{array}\text{\hspace{1em}(14)} \end{gathered}$$

3.5 无限大均匀带电平面

选定圆柱面作为高斯面：
$$\begin{gathered} {\Phi }_e={\oint }_{左端面}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}+{\oint }_{右端面}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=2ES=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sigma S \\ \Rightarrow E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\text{\hspace{1em}(15)} \end{gathered}$$

3.6 均匀带电圆盘

$$E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}(1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}})\text{\hspace{1em}(16)}$$

3.7 均匀带电球体

$$\mathbf{E}=\{\begin{array}{cc}\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\mathbf{r}}_0& (r>R)\\ \frac{\rho }{3{\epsilon }_0}\mathbf{r}& (r<R)\end{array}$$

第四讲 静电场的环路定理 电势能

4.1 电场强度环流

$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0\text{\hspace{1em}(17)}$$
环路定理表明静电场是无旋有源场；

4.2 电势能

选定电势能零参考点，则点$A$处的电势能：
$$w_a=A_{a^{\prime }{0}^{\prime }}={\int }_a^{{}^{\prime }{0}^{\prime }}{q}_0\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\text{\hspace{1em}(18)}$$
注：电势能是标量，相对于电势能零参考点有负值；

第五讲 电势 电势差

5.1 电势与电势差

$A$点电势：
$$u_a=\frac{W_a}{q_0}={\int }_a^{{}^{\prime }{0}^{\prime }}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\text{\hspace{1em}(19)}$$
注：电势为标量；
$$U_{ab}=u_a-u_b={\int }_a^b\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\text{\hspace{1em}(20)}$$
电荷$q$$a\to b$时，静电力做功：
$$A_{ab}=q(u_a-u_b)\text{\hspace{1em}(21)}$$

5.2 电偶极子电势能

在电场 $\mathbf{E}$ 中：
$$W=-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E}\text{\hspace{1em}(22)}$$
当$\mathbf{E}$为非均匀电场时，上式应改为积分形式；
在电场中做功：
$$W_{{\theta }_1{\theta }_2}=\{\begin{array}{l}-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E}({\theta }_1)-(-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E}({\theta }_2))\\ {\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}-\mathbf{p}\times \mathbf{E}d\theta \end{array}$$

5.3 电势叠加原理

对于点电荷选取无穷远处作为零电势点：
$$\begin{gathered} u_a={\int }_a^{\infty }\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r} \\ {W}_a=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{r}\text{\hspace{1em}(23)} \end{gathered}$$
叠加原理——标量叠加
$$\begin{gathered} u_a=\sum u_i \\ \Rightarrow u_a={\int }_Q\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r}(积分形式)\text{\hspace{1em}(24)} \end{gathered}$$

5.4 电荷分布求电势

积分形式：
$$u_a={\int }_Q\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r}\text{\hspace{1em}(25)}$$
电偶极子外任一点$C$的电势：
$$\begin{gathered} U_C=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r_{+}}-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r_{-}}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{r_{-}-r_{+}}{r_{-}{r}_{+}} \\ r\gg l\Rightarrow r_{+}{r}_{-}\approx r^2,r_{-}-r_{+}\approx lcos\theta \\ \Rightarrow u_C=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{r}}{r^3}\text{\hspace{1em}(26)} \end{gathered}$$

5.5 电场强度求电势

场强与电势关系：
$$u_a={\int }_a^{\infty }\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\text{\hspace{1em}(27)}$$
带电体电荷分布具有对称性时，利用高斯定理求出场强分布进而求电势；
【无限长均匀带电圆柱面】
由高斯定理求得电场分布：
$$E=\{\begin{array}{cc}0& r<R\\ \frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}& r>R\end{array}\text{\hspace{1em}(28)}$$
一般而言，当电荷分布延伸到无穷远时，是不能选取无穷远处为电势零参考点的；
$$\begin{gathered} u_P={\int }_P^{P_0}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}={\int }_P^{P^{\prime }}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}+{\int }_{P^{\prime }}^{P_0}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} \\ =0+{\int }_r^{r_0}\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}dr \\ =-\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln r+\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln r_0 \\ =-\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln r+C(r>R)\text{\hspace{1em}(29)} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} u_P={\int }_P^{P_0}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}={\int }_r^R\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}+{\int }_R^{r_0}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} \\ =0+{\int }_R^{r_0}\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}dr \\ =-\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln R+C(r<R)\text{\hspace{1em}(30)} \end{gathered}$$
其中，$C=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln r_0$

5.6 均匀带电球面电势

$$V(r)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{R}& (r\le R)\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}& (r>R)\end{array}\text{\hspace{1em}(31)}$$

5.7 均匀带电球体电势

球内距离球心$r$处一点$P$电势：
$$\begin{gathered} u=u_1+u_2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{R^3}{r}^2+{\int }_r^R\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{d{q}_2}{r^{\prime }} \\ =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{R^3}{r}^2+{\int }_r^R\frac{3Q{r}^{\prime }}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}d{r}^{\prime } \\ =\frac{Q(3R^2-r^2)}{8\pi {\epsilon }_0{R}^3}(r<R)\text{\hspace{1em}(32)} \end{gathered}$$
球外距离球心$r$处一点$P$电势：
$$u=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}(r\ge R)\text{\hspace{1em}(33)}$$
注：在$P$点的电场强度犹如电荷集中在球心处的点电荷在$P$点产生的电场强度一样，故电势同理；

第六讲 电势与场强微分关系

$$\begin{gathered} E=-\frac{du}{dn} \\ {E}_l=-\frac{du}{dl} \\ \mathbf{E}=-(\frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{k}) \\ u(x,y,z)\Rightarrow E(x,y,z)\text{\hspace{1em}(34)} \end{gathered}$$

第七讲 静电场中的导体 电容

7.1 静电平衡导体表面

电场强度：
$$\mathbf{E}=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\mathbf{n}\text{\hspace{1em}(35)}$$
区别于无限大带电平面产生的电场(缺少静电平衡的条件)：
$$\mathbf{E}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\mathbf{n}\text{\hspace{1em}(36)}$$

7.2 孤立导体电容

$$C=\frac{q}{u}\text{\hspace{1em}(37)}$$

7.3 平行板电容器电容

$$\begin{gathered} C=\frac{q}{u_1-u_2} \\ =\frac{q}{Ed}=\frac{q}{\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}d} \\ =\frac{q}{\frac{qd}{{\epsilon }_{0}S}}=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}\text{\hspace{1em}(38)} \end{gathered}$$

7.4 球形电容器电容

两球面间电场强度：
$$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\text{\hspace{1em}(39)}$$
$$\begin{gathered} u_1-u_2={\int }_{R_1}^{R_2}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}={\int }_{R_1}^{R_2}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}dr \\ =\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{R_2-R_1}{R_1{R}_2} \\ \Rightarrow C=\frac{q}{u_1-u_2}=\frac{4\pi {\epsilon }_0{R}_1{R}_2}{R_2-R_1}\text{\hspace{1em}(40)} \end{gathered}$$

7.5 电容器串并联

$$\begin{gathered} \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{C_n}(串联) \\ C=C_1+C_2+\cdot \cdot \cdot +C_n(并联)\text{\hspace{1em}(41)} \end{gathered}$$

第八讲 静电能

8.1 静电能公式推导

$$\begin{gathered} U(t)=\frac{q(t)}{C} \\ dA=U(t)dq=\frac{q(t)}{C}dq \\ A=\int dA={\int }_0^Q\frac{q(t)}{C}dq=\frac{Q^2}{2C} \\ Q=CU\Rightarrow A=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}QU \\ \Rightarrow W=A=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}QU\text{\hspace{1em}(42)} \end{gathered}$$

8.2 电场能量密度推导

$$\begin{gathered} U=Ed,C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d} \\ \Rightarrow W=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^{2}Sd=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^{2}V \\ \Rightarrow \omega =\frac{W}{V}=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\text{\hspace{1em}(43)} \end{gathered}$$

第九讲 电介质的极化 束缚电荷

9.1 电介质

$$C={\epsilon }_r{C}_0\text{\hspace{1em}(44)}$$
其中，${\epsilon }_r$ 称为介质的相对介电常数（相对电容率），$C_0$ 表示真空中对应的电容；因此，除真空中 ${\epsilon }_r=1$ 外，其余 ${\epsilon }_r>1$；

9.2 介质极化

$$\{\begin{array}{c}有极分子\Rightarrow 取向极化\\ 无极分子\Rightarrow 位移极化\end{array}$$

第十讲 电介质内的电场强度

根据电介质极化原理推导：
$$\begin{gathered} \mathbf{E}={\mathbf{E}}_0+{\mathbf{E}}^{\prime } \\ {E}_0=\frac{{\sigma }_0}{{\epsilon }_0},E^{\prime }=\frac{{\sigma }^{\prime }}{{\epsilon }_0} \\ \Rightarrow E=\frac{{\sigma }_0}{{\epsilon }_0}-\frac{{\sigma }^{\prime }}{{\epsilon }_0} \\ E=\frac{E_0}{{\epsilon }_r} \\ \Rightarrow {\sigma }^{\prime }=(1-\frac{1}{{\epsilon }_r}){\sigma }_0\text{\hspace{1em}(45)} \end{gathered}$$

第十一讲 $★$电介质中的高斯定理

11.1 电位移矢量

推导：
$$\begin{gathered} {\iint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}({\sigma }_0-{\sigma }^{\prime })S \\ 式(45)\Rightarrow \frac{1}{{\epsilon }_0}({\sigma }_0-{\sigma }^{\prime })=\frac{{\sigma }_0}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r} \\ \Rightarrow {\iint }_S{\epsilon }_0{\epsilon }_r\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}={\epsilon }_{0}S=q_0 \\ 令\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\mathbf{E} \\ \Rightarrow {\iint }_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=q_0\text{\hspace{1em}(46)} \end{gathered}$$
其中，$D$ 称为电位移矢量或电通密度，$\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$ 称为电介质的介电常数；

11.2 电介质中的能量密度

$$\begin{gathered} \omega =\frac{1}{2}\mathbf{D}\cdot \mathbf{E} \\ {\epsilon }_r=1\Rightarrow \omega =\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2(真空中)\text{\hspace{1em}(47)} \end{gathered}$$

第十二讲 经典习题