编程技巧--位运算的巧妙运用（1）

             这是我的这一系列文章的第一篇，主要讲述我学习过程中积累的一些编程技巧，由于我也是一个初学者，高手莫笑。这一篇主要讲解位运算的基础知识鱼与其简单应用，我主要以C/C++语言讲述，其他语言可以类推。如果你已经对位运算基础和应用十分熟悉，那么本文并不适合你。

             我相信还是有一部分人对位运算还不是很了解，我希望你在看了本博文之后能对位运算有深刻的了解，并运能够用自如，能够体会到编程的乐趣。

            “写程序，位运算是必要的吗？”

             这个问题问的好，其实位运算并不是必要的，有什多方法可以可以代替位运算，但是位运算其特有的对程序的优化特点是无法替代的！当然如果你在写Windows应用程序，其中调用的一些Windows APi 你就必须用到位运算，如最简单的MessageBox。当然其中牵扯到的位运算过于简单，就是简单的或运算。想想当初写的第一个windows程序用到MessageBox竟然出现了一个windows窗口，而不是那黑糊糊的Console，让我兴奋了还一段时间！可是当时的我也不知道这里面牵扯的很多知识，甚至什么是API都不知道！

             我们在学习C/C++的时候书本上对位运算的相关知识讲得很少，就是简单的“或与非”。如果你的记性好那么你还会记得在位运算中还有一个运算叫做 “异或”运算和移位运算。不知道你现在对位运算的基础是否还清楚，我在这里假设我们都忘了位运算的基础，所以下面我们对位运算进行复习一下。

C/C++语言提供的位运算符有：

位运算的结果演示：

               好了看了上面的两个表格，相信你已经对位运算有所了解了，那么接下来，我们就来讲讲位运算的应用。

1、  用于整数的奇偶性判断

               想想，我们要判断一个数的奇偶性，在没用位运算之前我们可以用下列的代码来实现：

template<class Type>
bool Parity(Type value)
{if(value % 2 == 0)return false;elsereturn true;
}
//加以优化 
template<class Type>
inline bool Parity(Type value)
{return (value % 2 != 0);
}

             要知道，上面的代码我们使用的是对2取余，如果操作数value是小数的话，还勉强行得通，但是value是一个上百万的大数，那么这就白白浪费了CPU的大量时间，程序的效率和性能就很差。我们知道任何数在计算机储存中都是以二进制储存的，细心的你就会发现在二进制的最小一位有个特点，为0就是偶数，为1就是奇数，按照这个原理我们根本没必要让我们的CPU大哥白白做那么多的工作，只要一步判断就可以了。接下来就让我们看看位运算的精妙之处！

             那么我们的目的就是判断最小位是0还是1，可是我们怎么判断呢？我们要用位运算阿里判断，就是与或非。在上面的复习之中我们只说了位运算的计算方法，并没有说其用处。那么在这里我们用到的就是“与”！与运算特有的一个功能就是判断指定位上的值（0或1）。我们来看下面的表格（与运算）。

            我们要注意一下这里的 操作数2 ，它只有最低位是1，其余位都是0，这就是关键所在，操作数1是随机值。我们看看结果只会有两种结果：0或1。这个结果就取决于操作数1的最低位，它为1时就为1，为0时就为0.

            “那么我要判断的是第二位呢？”

            好！那我们就把操作数2改为 00000010 那么结果就只会有 00000000 或 00000010 其结果取决于第二位。

            有了这个基础那么我们来看看怎么用位运算判断奇偶性吧：
 

template<class Type>
bool Parity(Type value)
{if(value & 0x0001 == 0)return false;elsereturn true;
}
//加以优化 
template<class Type>
inline bool Parity(Type value)
{return (value & 1 != 0);
}
//在简化 
#define	PARITY(value) (value&1)

                    使用a%2来判断奇偶性和a & 1是一样的作用，但是a & 1要快好多。

2、  判断n是否是2的整数冪

                所谓2的整数冪就是指 1(2的0次冪)，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2048.............等数字，若何判断一个数是否是这样的数呢？我们看看不用位运算的计算方法：

#include "math.h" template<class Type>
bool IsPowerOfTwo(Type value)
{for(int i = 0,l = 8*sizeof(value); i < l ;i++){if(pow(2,i) == value){return true;}} return false;
}

             在这个算法中，我们使用了一个循环。其原理非常简单就是一一的对比，但是其中还调用了数学函数库，效率大大降低。接下来我们讲讲怎样用位运算来判断。我们首先要研究一下这些数的特性，请看下表（与运算）：

            我们发现 n &（n-1） =  0  我们可以 用逻辑非  !（n&（n-1）） =  1 。那是不是这样就可以了呢，你会发现 !（0&（0-1）） =  1 但是 0并不是 2的正整数冪。我们可以用 逻辑与 （!（n&（n-1） &&  n） = 1;请看下面的代码：

template<class Type>
inline bool IsPowerOfTwo(Type n)
{if(((!(n&(n-1))) && n) == 1)return true;elsereturn false;
}
//简化 
#define	ISPOWEROFTWO(n) ((!(n&(n-1)) ) && n)

3、  统计n在二进制中1的个数

             朴素的统计办法是：先判断n的奇偶性，为奇数时计数器增加1，然后将n右移一位，重复上面步骤，直到移位完毕。

template<class Type>
inline bool Parity(Type value)
{return (value % 2 != 0);
}template<class Type>
inline int CountOne(Type value)
{if(value != 0){return Parity(value) + CountOne(value >> 1);}return 0;
}

             朴素的统计办法是比较简单的，那么我们来看看比较高级的办法。

              举例说明，

                      考虑2位整数 n=11（十进制为3），里边有2个1，先提取里边的偶数位10，奇数位01，把偶数位右移1位，然后与奇数位相加，因为每对奇偶位相加的和不会超过“两位”，所以结果中每两位保存着数n中1的个数，那么把 n 计算之后得到的值为：（10>>1）+01 = 01 + 01 = 10, 把10换成十进制就是 2，2就代表 n(3)=11 中有两个1！

                     相应的如果n是四位整数 n=0111(十进制7)，先以“一位”为单位做奇偶位提取：偶数位 0010，奇数位0101。然后偶数位移位（右移1位）再相加：（0010>>1）+0101=0110；再用0110以“两位”为单位做奇偶提取：偶数为0100，奇数位0010。偶数位移位（这时就需要移2位）再相加：（0100>>2）+0010=0011，因为此时每对奇偶位的和不会超过“四位”，所以结果中保存着n中1的个数：（0100>>2）+0010=0011 把0011换成十进制就是3，3就是n(7)=0111中有3个1。

                     依次类推可以得出更多位n的算法。整个思想类似分治法。

  
在这里就顺便说一下常用的二进制数：

int CountOne(unsigned int n)
{//0xAAAAAAAA，0x55555555分别是以“1位”为单位提取奇偶位n = ((n & 0xAAAAAAAA) >> 1) + (n & 0x55555555);//0xCCCCCCCC，0x33333333分别是以“2位”为单位提取奇偶位n = ((n & 0xCCCCCCCC) >> 2) + (n & 0x33333333);//0xF0F0F0F0，0x0F0F0F0F分别是以“4位”为单位提取奇偶位n = ((n & 0xF0F0F0F0) >> 4) + (n & 0x0F0F0F0F);//0xFF00FF00，0x00FF00FF分别是以“8位”为单位提取奇偶位n = ((n & 0xFF00FF00) >> 8) + (n & 0x00FF00FF);//0xFFFF0000，0x0000FFFF分别是以“16位”为单位提取奇偶位n = ((n & 0xFFFF0000) >> 16) + (n & 0x0000FFFF);return n;
}

                    看起来似乎采用位运算的代码比朴素方法代码要复杂的多，但是在性能上有着朴素方法无法比拟的优越性，只要四步简单的运算就能达到目的，而朴素方法不是用循环就是递归，这大大降低了CPU的运算性能。

4、对于正整数的模运算（注意，负数不能这么算）

先说下比较简单的：

乘除法是很消耗时间的，只要对数左移一位就是乘以2，右移一位就是除以2，据说用位运算效率提高了60%。

乘2^k 众所周知： n<<k。所以你以后还会傻傻地去敲2566*4的结果10264吗？直接2566<<2就搞定了，又快又准确。

除2^k众所周知： n>>k。

那么 mod 2^k 呢？（对2的倍数取模）

n&((1<<k)-1)

用通俗的言语来描述就是,对2的倍数取模，只要将数与2的倍数-1做按位与运算即可。

好！方便理解就举个例子吧。

思考：如果结果是要求模2^k时，我们真的需要每次都取模吗？

在此很容易让人想到快速幂取模法。

快速幂取模算法

经常做题目的时候会遇到要计算 a^b mod c 的情况，这时候，一个不小心就TLE(算法计算超时，ACM题目测试结果常见问题)了。那么如何解决这个问题呢？位运算来帮你吧。

 

首先介绍一下秦九韶算法：(数值分析讲得很清楚)

把一个n次多项式f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形式：

　　f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0]

　　= (a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0]

　　= ((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0]

　　=. .....

　　= (......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].

　　求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即

　　v[1]=a[n]x+a[n-1]

　　然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

　　v[2]=v[1]x+a[n-2]

　　v[3]=v[2]x+a[n-3]

　　......

　　v[n]=v[n-1]x+a[0]

这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。

好！有了前面的基础知识，我们开始解决问题吧

由(a × b) mod c=( (a mod c) × b) mod c.

我们可以将 b先表示成就：

  b = a[t] × 2^t + a[t-1]× 2^(t-1) + …… + a[0] × 2^0.  (a[i]=[0,1]).

这样我们由 a^b  mod  c = (a^(a[t] × 2^t  +  a[t-1] × 2^（t-1） + …a[0] × 2^0) mod c.

然而我们求  a^( 2^(i+1) ) mod c=( (a^(2^i)) mod c)^2 mod c .求得。

具体实现如下：

使用秦九韶算法思想进行快速幂模算法，简洁漂亮

// 快速计算 (a ^ p) % m 的值

[cpp] view plain copy

print ?

1. __int64 FastM(__int64 a, __int64 p, __int64 m)  
2. {   
3.     if (p == 0) return 1;  
4.     __int64  r = a % m;  
5.     __int64  k = 1;  
6.     while (p > 1)  
7.     {  
8.         if ((p & 1)!=0)  
9.         {  
10.             k = (k * r) % m;   
11.         }  
12.         r = (r * r) % m;  
13.         p >>= 1;  
14.     }  
15.     return (r * k) % m;  
16. }  

__int64 FastM(__int64 a, __int64 p, __int64 m)
{ if (p == 0) return 1;__int64  r = a % m;__int64  k = 1;while (p > 1){if ((p & 1)!=0){k = (k * r) % m; }r = (r * r) % m;p >>= 1;}return (r * k) % m;
}

 http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3070

5、计算掩码

什么是掩码？掩码是一串二进制代码对目标字段进行位与运算，屏蔽当前的输入位。用于从一个或多个字节中选出的位的集合。

举个例子：

我们有一个IP地址：192.168.1.111 对应二进制：11000000.10101000.00000001.01101111。

我们让这个IP位与：255.255.255.0 对应二进制：11111111.11111111.11111111.00000000。

可以得到子网地址：192.168.1.0     对应二进制：11000000.10101000.00000001.00000000。

在例子中我们通过观察二进制码就知道，这个过程就是拿到IP的前三个字节的数据信息，这里用到的255.255.255.0就是掩码，也就是我们常说的子网掩码。通过子网掩码可以轻松的得到子网地址。那么通过掩码我们就可以轻松的得到多个字节中指定的位的集合。

我们现在有一个需求：获得数x的低n位的集合。

假设 x = 233 n= 6，我们就知道计算方法：233的二进制是 11101001，所以结果集为 11101001&00111111 =00101001 十进制为 41。在这个计算中233可以轻易改变，但是 00111111 已经指定 n = 6，要可以让n也随意改变怎么办呢？

我们用位运算的思维就可以得到 n = 6 时 00111111 可以表示为 (1 << 6) - 1 

那么掩码的计算公式就为：(1 << n) - 1 

现在根据需求可以写出模版函数如下：

[cpp] view plain copy

print ?

1. template<class Type>  
2. inline Type LowByte(Type x, int n)  
3. {  
4.     return x & ((1 << n) - 1);  
5. }  
6. //简化   
7. #define LOWBYTE(x,n) x & ((x << n) - 1)  

template<class Type>
inline Type LowByte(Type x, int n)
{return x & ((1 << n) - 1);
}
//简化 
#define	LOWBYTE(x,n) x & ((x << n) - 1)

如果是高位集合呢？我们只需要把掩码左移就可以了：n = 6 时 00111111<<2  公式为：((1 << 6) - 1)<<2

[cpp] view plain copy

print ?

1. template<class Type>    
2. inline Type HeightByte(Type x, int n)    
3. {    
4.     return x & (((1 << n) - 1) << (sizeof(x)-n));    
5. }    
6. //简化    
7. #define HEIGHTBYTE(x,n) x & (((1 << n) - 1) << (sizeof(x)-n))  

template<class Type>  
inline Type HeightByte(Type x, int n)  
{  return x & (((1 << n) - 1) << (sizeof(x)-n));  
}  
//简化  
#define HEIGHTBYTE(x,n) x & (((1 << n) - 1) << (sizeof(x)-n))

6、子集

假设我们有一个集合 mask =｛‘c’，‘b’，‘a’｝，要求列出集合的所有子集。我们可以使用位运算思想，把集合的元素的有无看成二进制的0和1那么我们展开举例：

        ｛‘c’，‘b’，‘a’｝

            0     0     1                1                      ｛‘a’｝

            0     1     0                2                      ｛‘b’｝

            0     1     1                3                      ｛‘b’，‘a’｝

                  ...                      ...                          ...

            1     1     1                7                      ｛‘c’，‘b’，‘a’｝

              二进制                十进制                   对应子集

　　枚举出一个集合的子集。设原集合为mask，则下面的代码就可以列出它的所有子集： 

　　for (i = mask ; i ; i = (i - 1) & mask) ; 

　　很漂很漂亮吧。