对fftshift的思考

本文主要是介绍对fftshift的思考，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

首先明确一下，我们这里考虑的二维数组的形式，因为我们主要的学习目标是图像处理。

1. 偶数的情况

我们类比于一维中的情况，DFT中一个周期的对称中心是 $M/2$，如果 $M$ 恰好是一个偶数，那么 $M/2$ 会是一个具体的点，如果 $M/2$ 是一个奇数，则显然对称中心不存在某一个具体的点，它在两点之间。为了简单起见，我们现在只考虑 $M$ 恰好是一个偶数的情况。

二维的情况其实很简单，将输入的数据乘 $(-1{)}^{x+y}$，那么频谱就会位移 $M/2$ 和 $N/2$。

$$f(x,y)(-1{)}^{x+y}\iff F(u-M/2,v-N/2)$$

MATLAB为我们提供了一个函数来实现这个功能，而不用我们自己来对输入的 $M\times N$ 的 data array 做处理。我们来观察一下。

array =[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16];fft_array=fft2(array);
fft_array_shifted=fftshift(fft_array);array_ifft=ifft2(fft_array_shifted)

array_ifft =
1 -2 3 -4
-5 6 -7 8
9 -10 11 -12
-13 14 -15 16

完美符合要求，证明了对于偶数大小的矩阵来说，fftshift 确实成功实现了中心化，也就是对频谱位移了 $M/2$ 和 $N/2$。

2. 奇数的情况

那对于奇数大小的矩阵呢？我们来验证一下。

array =[1,2,3;4,5,6;7,8,9];fft_array=fft2(array);
fft_array_shifted=fftshift(fft_array);array_ifft=ifft2(fft_array_shifted)

array_ifft =

1.0000 + 0.0000i -1.0000 + 1.7321i -1.5000 - 2.5981i
-2.0000 + 3.4641i -2.5000 - 4.3301i 6.0000 + 0.0000i
-3.5000 - 6.0622i 8.0000 + 0.0000i -4.5000 + 7.7942i

很遗憾，对于奇数大小矩阵似乎无法正确实现频谱位移的功能。这是可以理解的，因为位移的点是整数，想要将频谱位移 $M/2$ 在 $M$ 是奇数的情况下显然是无法实现的。实际上从一维度，我们可以更方便的理解这一点：

对于一维离散DFT，我们知道有
$$f(x)e^{j2\pi \left(u_{0}x/M\right)}\iff F\left(u-u_0\right)$$
fftshift 对频谱的位移效果，会导致 $u_0$ 不是一个整数，那么如果 $u_0$ 不是个整数会发生什么？

array=[1,2,3];
array_fft=fft(array)array=[1,-2,3];
array_fft_another=fft(array)

array_fft =
6.0000 + 0.0000i -1.5000 + 0.8660i -1.5000 - 0.8660i
array_fft_another =
2.0000 + 0.0000i 0.5000 + 4.3301i 0.5000 - 4.3301i

事实上，他是连续形式傅里叶变化位移之后的直接抽样。上面的二维情况是同理。

这篇关于对fftshift的思考的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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