第十八题(约瑟夫环问题)

2024-08-29 17:58
文章标签 问题 约瑟夫 第十八

本文主要是介绍第十八题(约瑟夫环问题),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

第18 题:
题目:n 个数字(0,1,…,n-1)形成一个圆圈,从数字0 开始,
每次从这个圆圈中删除第m 个数字(第一个为当前数字本身,第二个为当前数字的下一个数
字)。
当一个数字删除后,从被删除数字的下一个继续删除第m 个数字。

求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。


这道题网上讲解的很多,主要有两种方法:

第一种,采用循环链表实现,建立一个有n个节点的循环链表,然后从链表头开始遍历链表并计数,计数值到m-1时将节点删除,直到链表中只有一个节点(判定条件,p->next==p)。这种方法的时间复杂度为o(mn)。

第二种方法比较巧妙,时间复杂度可以达到O(n),但是只能求的最后一个数字的值,不能像第一种方法那样获得每个数字的删除顺序。

第二种方法的推导可以参考这个链接:

http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6628491

讲的比较详细,主要是要得出n个数字的约瑟夫环和n-1个数字的约瑟夫环胜利者的关系。

s(n)=(s(n-1)+k)%n,其中k=m%n;

s(1)=0;

有了这个递推关系,可以很容易的写出程序:

#include<iostream>
using namespace std;
namespace MS100P_18
{//采用链表实现,复杂度O(mn)struct ListNode{int data;ListNode* next;};void JosephusProblem_List(int n,int m)	{//使用循环链表实现ListNode* head;head = (ListNode*)malloc(sizeof(ListNode));if (head == NULL){printf("malloc error!\n");return;}ListNode* pNew, *pCurrent;pCurrent = head;//构造循环链表for (int i = 0; i < n; i++){pNew = (ListNode*)malloc(sizeof(ListNode));if (pNew == NULL){printf("malloc error!\n");return;}pNew->data = i;pCurrent->next = pNew;pCurrent = pNew;}pCurrent->next = head->next;ListNode* pPre = head;pCurrent = head->next;//依次从链表中移除while (pCurrent->next != pCurrent){for (int j = 0; j < m - 1; j++)	//删除第m个数字,m为1时删除当前节点{pPre = pPre->next;pCurrent = pCurrent->next;}pPre->next = pCurrent->next;cout << pCurrent->data << " ";free(pCurrent);pCurrent = pPre->next;}cout<<endl << "链表 the last one is:" << pCurrent->data << endl;}void JosephusProblem(int n, int m){int s=0;for (int i = 2; i <= n; i++){s = (s + m) % i;}cout << "递推 the last one is:" << s << endl;}void test(){JosephusProblem_List(10, 3);JosephusProblem(10, 3);}}

第二种方法递推公式推导的理解大体上是这样子的:

知道了n-1个数字时约瑟夫环的胜利者s(n-1),其实就知道了当数字个数为n-1时约瑟夫环的胜利者相对起始数字的偏移

n个数字的约瑟夫环在进行了一次删除操作后,变成了一个n-1约瑟夫环问题,起始位置为k,胜利者相对于起始位置偏移量为s(n-1),不难求得s(n)=(s(n-1)+k)%n





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http://www.chinasem.cn/article/1118570

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