差分约束问题

本文主要是介绍差分约束问题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

概念及解法

  引用自OI Wiki

差分约束系统是一种特殊的 n 元一次不等式组，它包含 n 个变量 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 以及 m 个约束条件，每个约束条件是由两个其中的变量做差构成的，形如 $x_i-x_j\le c_k$，其中 $1\le i,j\le n,i\ne j,1\le k\le m$ 并且 $c_k$ 是常数（可以是非负数，也可以是负数）。我们要解决的问题是：求一组解 $x_1=a_1,x_2=a_2,\dots ,x_n=a_n$，使得所有的约束条件得到满足，否则判断出无解。

差分约束系统中的每个约束条件 $x_i-x_j\le c_k$ 都可以变形成 $x_i\le x_j+c_k$，这与单源最短路中的三角形不等式 $dist[y]\le dist[x]+w$ 非常相似。因此，我们可以把每个变量 $x_i$ 看做图中的一个结点，对于每个约束条件 $x_i-x_j\le c_k$，从结点 j 向结点 i 连一条长度为 $c_k$ 的有向边。

注意到，如果 { a 1 , a 2 , … , a n } \{a_1,a_2,\dots,a_n\} {a1​,a2​,…,an​} 是该差分约束系统的一组解，那么对于任意的常数 d， { a 1 + d , a 2 + d , … , a n + d } \{a_1+d,a_2+d,\dots,a_n+d\} {a1​+d,a2​+d,…,an​+d} 显然也是该差分约束系统的一组解，因为这样做差后 d 刚好被消掉。

  一般使用Bellman–Ford / SPFA判断图中是否存在负环，最坏时间复杂度为 O(mn)，不存在负环时 { d i s t [ 1 ] , d i s t [ 2 ] , … , d i s t [ n ] } \{dist[1],dist[2],\dots,dist[n]\} {dist[1],dist[2],…,dist[n]}就是一组解。

一些题目

  UVa11671 Sign of Matrix
  有一个n*n（2≤n≤100）的全零矩阵，每次可以把某一行的所有元素加1或减1，也可以把某一列的所有元素加1或减1。操作之后每个元素的正负号已知，问：至少需要多少次操作？无解输出-1。例如，要达到下图中的正负号矩阵，至少需要3次操作。

  将行列当成结点，一共2n个结点，根据每个元素的符号建立有向边约束，跑SPFA如果有负圈则无解，否则将数组d排序，把中位数d[n-1]当成0，${\sum }_{i=0}^{2n-1}abs(d[i]-d[n-1])$就是答案。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;#define N 202
struct {int v, w;} g[N][N>>1]; int c[N], d[N], f[N], cnt[N], q[N*N], n, kase = 0;bool cycle() {int head = 0, tail = n;for (int i=0; i<n; ++i) cnt[i] = d[i] = 0, f[i] = 1, q[i] = i;while (head < tail) {int u = q[head++]; f[u] = 0;for (int i=0; i<c[u]; ++i) {int v = g[u][i].v, d1 = d[u] + g[u][i].w;if (d[v] > d1) {d[v] = d1;if (++cnt[v] >= n) return true;if (!f[v]) q[tail++] = v, f[v] = 1;}}}return false;
}int solve() {memset(c, 0, sizeof(c));for (int i=0; i<n; ++i) for (int j=0; j<n; ++j) {char x; cin >> x;if (x == '+') g[j+n][c[j+n]++] = {i, -1};else if (x == '-') g[i][c[i]++] = {j+n, -1};else g[j+n][c[j+n]++] = {i, 0}, g[i][c[i]++] = {j+n, 0};}n <<= 1;if (cycle()) return -1;sort(d, d+n);int cc = 0, h = (n>>1)-1;for (int i=0; i<n; ++i) cc += abs(d[i]-d[h]);return cc;
}int main() {ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);while (cin >> n && n > 0) cout << "Case " << ++kase << ": " << solve() << endl;return 0;
}

  UVa1516/LA5906 Smoking gun
  本题和一般的差分约束不太一样，一般的差分约束不等式带等号，无解等价于有向图存在负权圈，这里差分约束不带等号，那么0权圈也是无解的。可以用Floyd算法处理，有0权圈或负权圈（即w[i][i]≤0）则无解。

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